|a|=b⇒a=±b 【証】(i) a≧0のとき： |a|=aであり、仮定より|a|=bなので、a=b (ii) a<0のとき： |a|=-aであり、仮定より|a|=bなので、a=-b よって(i),(ii)より、|a|=b⇒a=±bである。■

|a|^2=a^2=|-a|^2 【証】a=0のとき、絶対値の定義より、|a|^2=a^2=|-a|^2となる事は明らか。 (i) a>0のとき： -a<0なので、絶対値の定義より、 |a|^2=a^2={-(-a)}^2=|-a|^2 (ii) a<0のとき： -a>0なので、絶対値の定義より、 |a|^2=(-a)^2=a^2=(-a)^2=|-a|^2…

|a/b|=|a|/|b|（b≠0） 【証】絶対値の性質（２）、（３）より、 |a/b|=|a・(1/b)|=|a||1/b|=|a|・(1/|b|)=|a|/|b|■

|1/b|=1/|b|（b≠0） 【証】(i) b>0のとき： 1/b>0なので、絶対値の定義より、 |1/b|=1/b=1/|b| (ii) b<0のとき： 1/b<0なので、絶対値の定義より、 |1/b|=-(1/b)=1/(-b)=1/|b| よって(i),(ii)より、|1/b|=1/|b|（b≠0）が成り立つ。■

|ab|=|a||b| 【証】a,bのうち少なくとも1つが0であれば、|ab|=|a||b|となる事は明らか。 (i) a>0、b>0のとき： ab>0となるので、絶対値の定義より、 |ab|=ab=|a||b| (ii) a>0、b<0のとき： ab<0となるので、絶対値の定義より、 |ab|=-(ab)=a(-b)=|a||b| (iii…

|-a|=|a| 【証】(i) a≧0のとき、-a≦0なので、絶対値の定義より、 |-a|=-(-a)=a=|a| (ii) a<0のとき、-a>0なので、絶対値の定義より、 |-a|=-a=|a| よって(i)、(ii)より、|-a|=|a|が成り立つ。■

a≧0、b≧0のとき、 a+b=0⇒a=b=0 【証】a≧0、b≧0であり、そのどちらかが正の値であれば、その和も正の値となって仮定に反するので、a、bどちらも0である。■

a≧0、b≧0のとき、 a>b⇔a^n>b^n(nは任意の自然数) が成り立つ。 【証】数学的帰納法により示す。 (i)n=1のとき: a>b⇔a^1>b^1⇔a^n>b^n となるので成り立つ。 (ii)n=k(≧1)のとき成り立っていると仮定すると、a>b⇔a^k>b^kである。 (→):a>bとすると、a-b>0であり…

bのn乗根を「n√b」と表す時、 (i)b>1ならば、1<n√b<(n√b)^2<(n√b)^3<…<(n√b)^n=b (ii)1>b>0ならば、1>n√b>(n√b)^2>(n√b)^3>…>(n√b)^n=b>0 が成り立つ。 【証】(i)a=n√bとすると、a^n=(n√b)^n=b>1であり、b>1よりa=n√b>0である。 もし、a≦1ならば、a>0より、 1≧a≧a^2≧…≧a^n となって、a^n>1に反するの</n√b<(n√b)^2<(n√b)^3<…<(n√b)^n=b>…

最近、天気が悪い。 傘が邪魔臭いし、ちょっと肌寒い。 風邪をひかないように気をつけなければならない。

公理論的確率空間によると、確率変数は、標本空間Ω上で定義された実数値関数X=X(ω)(但し、ω∈Ω)が、P-可測関数であるときをいうらしい。 P-可測関数というのは、Fを可測集合族(Ωが有限集合だったらそのべき集合)とすると、任意の実数αに対して、{ω|X(ω)≦α}∈F…

標題の通りだ。 数学の事を書かなきゃいけないと思って、 面倒臭くて、更新してこなかった。 数学の勉強は、ずっと続けていたから、 時間があれば、ここにアップしても良いかと思う。 何で再びブログを書こうかと思ったかというと、 Youtubeの「わんこらチャ…