bのn乗根を「n√b」と表す時、
(i)b>1ならば、1<n√b<(n√b)^2<(n√b)^3<…<(n√b)^n=b
(ii)1>b>0ならば、1>n√b>(n√b)^2>(n√b)^3>…>(n√b)^n=b>0
が成り立つ。
【証】(i)a=n√bとすると、a^n=(n√b)^n=b>1であり、b>1よりa=n√b>0である。
もし、a≦1ならば、a>0より、
1≧a≧a^2≧…≧a^n
となって、a^n>1に反するので、a>1である。
よって、1<a<a^2<a^3<…<a^n、すなわち
1<n√b<(n√b)^2<(n√b)^3<…<(n√b)^n=b
が成り立つ。
(ii)a=n√bとすると、a^n=(n√b)^n=b<1であり、b>0よりa=n√b>0である。
もし、a≧1ならば、
1≦a≦a^2≦…≦a^n
となって、a^n<1に反するので、a<1である。
よって、a>0より、
1>a>a^2>a^3>…>a^n、すなわち
1>n√b>(n√b)^2>(n√b)^3>…>(n√b)^n=b>0
が成り立つ。■
