|ab|=|a||b|
【証】a,bのうち少なくとも1つが0であれば、|ab|=|a||b|となる事は明らか。
(i) a>0、b>0のとき：
ab>0となるので、絶対値の定義より、
|ab|=ab=|a||b|
(ii) a>0、b<0のとき：
ab<0となるので、絶対値の定義より、
|ab|=-(ab)=a(-b)=|a||b|
(iii) a<0、b>0のとき：
ab<0となるので、絶対値の定義より、
|ab|=-(ab)=(-a)b=|a||b|
(iv) a<0、b<0のとき：
ab>0となるので、絶対値の定義より、
|ab|=ab=(-a)(-b)=|a||b|
よって(i)～(iv)より、|ab|=|a||b|が成り立つ。■
