|a|^2=a^2=|-a|^2 【証】a=0のとき、絶対値の定義より、|a|^2=a^2=|-a|^2となる事は明らか。 (i) a>0のとき： -a<0なので、絶対値の定義より、 |a|^2=a^2={-(-a)}^2=|-a|^2 (ii) a<0のとき： -a>0なので、絶対値の定義より、 |a|^2=(-a)^2=a^2=(-a)^2=|-a|^2…

|a/b|=|a|/|b|（b≠0） 【証】絶対値の性質（２）、（３）より、 |a/b|=|a・(1/b)|=|a||1/b|=|a|・(1/|b|)=|a|/|b|■

|1/b|=1/|b|（b≠0） 【証】(i) b>0のとき： 1/b>0なので、絶対値の定義より、 |1/b|=1/b=1/|b| (ii) b<0のとき： 1/b<0なので、絶対値の定義より、 |1/b|=-(1/b)=1/(-b)=1/|b| よって(i),(ii)より、|1/b|=1/|b|（b≠0）が成り立つ。■

|ab|=|a||b| 【証】a,bのうち少なくとも1つが0であれば、|ab|=|a||b|となる事は明らか。 (i) a>0、b>0のとき： ab>0となるので、絶対値の定義より、 |ab|=ab=|a||b| (ii) a>0、b<0のとき： ab<0となるので、絶対値の定義より、 |ab|=-(ab)=a(-b)=|a||b| (iii…

|-a|=|a| 【証】(i) a≧0のとき、-a≦0なので、絶対値の定義より、 |-a|=-(-a)=a=|a| (ii) a<0のとき、-a>0なので、絶対値の定義より、 |-a|=-a=|a| よって(i)、(ii)より、|-a|=|a|が成り立つ。■