2017-05-01から1ヶ月間の記事一覧
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学／学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 （練習124） ［証］ （1）2点NとMを結ぶ。すると仮定より2点N、Mはそれぞれ△CABの2辺AC、BCの中点なので、中点連結定理…
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学／学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 （124の参考2）124の問題でAC＝BDならば四角形PQRSはひし形である。 ［証］2点AとC、2点BとDを結ぶ。すると仮定より4点…
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学／学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 （124の参考1）124の問題でAC⊥BDならば四角形PQRSは長方形である。 ［証］2点AとC、2点BとDを結び、線分ACと辺PSとの交…
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学／学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 （124） ［証］2点AとC、2点BとDを結ぶ。すると仮定より2点S、Rはそれぞれ△DACにおいて辺DA、DCの中点なので、中点連結…
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学／学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理と線分の長さ p.428 （練習123） ［解］（1）△AECにおいて、2点D、Fはそれぞれ辺AE、ACの中点なので、中点連結定理よりEG//DF・・・［1］DF＝…
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 中学数学／学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理と線分の長さ p.428 （123） ［解］仮定より2点M、Dはそれぞれ△BEAの辺BA、BEの中点なので中点連結定理よりMD//AE・・・［1］MD＝（1/2）AE…
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー （中点連結定理の関連定理）△ABCの辺ABの中点Mを通り、辺BCに平行な直線と辺ACとの交点をNとすると、AN＝NCが成り立つ。 ［証］仮定よりAM＝MBなので、AM：MB＝1：1であり、仮定よりMN//BCな…
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー （中点連結定理）△ABCの2辺AB、ACの中点をそれぞれM、Nとすると、MN//BC、MN＝（1/2）BCが成り立つ。 ［証］ 2点M、Nはそれぞれ辺AB、ACの中点なので、AM：AB＝AM：2AM＝1：2AN：AC＝AN：2AN…
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形の内角の二等分線の性質の証明 p.427 （練習122） ［解］半直線ADは∠Aの二等分線なので、三角形の内角の二等分線の性質よりBD：DC＝AB：CA＝9：6＝3…
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーa：b＝α：β（a＞0、b＞0、α＞0、β＞0）ならば、（ⅰ） a＝（α/（α＋β））（a＋b）（ⅱ） b＝（β/（α＋β））（a＋b）（ⅲ） α＝（a/（a＋b））（α＋β）（ⅳ） β＝（b/（a＋b））（α＋β）が成り立ち…
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学／学研教育出版・牧野正博著 平行線と線分の比の定理と線分の長さ p.425 （練習120） ［解］ （１） 平行線と線分の比の定理より ｘ：４＝５：３ ３ｘ＝２０ ｘ＝２０/３ また上図のよ…
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学／学研教育出版・牧野正博著 平行線と線分の比の定理と線分の長さ p.425 （120） ［解］ 上図のように交点をとり、点Aを通り直線FDに平行な直線をAHとする。 するとl//m、AG//FEより四…
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形の内角の二等分線の性質の証明 p.427 （122） ［証］点Cを通り、線分ADに平行な直線と半直線BAとの交点をEとする。すると、△BECにおいてAD//ECが成…
この問題は考えても解けなかったので、解説を読んで再チャレンジした（くやしい）。ポイントは何を基準にKH、GBを求めるか、またその基準はどうやったら求められるかということだと思う。（この問題の場合は、BIが基準となる）ーーーーーーーーーーーーーー…
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学／学研教育出版・牧野正博著 線分の長さの比 p.426 （121） ［解］点Aを通り、線分EFに平行な直線と半直線CBとの交点をGとおく。するとPE//AGなので、三角形の線分の比の定理よりAP：P…
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理と線分の長さ p.424 （練習119） ［解］（1）DE//BCなので、AD：AB＝DE：BC4：（4＋x）＝8：12＝2：32（4＋x）＝4・34＋x＝2・3x＝…
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理と線分の長さ p.424 （119） ［解］（1）DE//BCなので、AD：AB＝DE：BC6：（6＋3）＝x：126：9＝x：129x＝6・12x＝8（cm） （2）DE…
（補足）定理4よりAD：AB＝AE：ACならばDE//BCであり、定理3＋よりDE//BCならばAD：AB＝AE：AC＝DE：BCなので、AD：AB＝AE：ACならばAD：AB＝AE：AC＝DE：BCが成り立つ。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー新体系・中学数学の教科書（下）（芳沢先生の教科書） p.92 （定理4） ［証］仮定よりAD：AB＝AE：ACなので、定理5よりAD：DB＝AE：EC・・・［1］となるので、点Dを通って線分BCと平行な直線を…
芳沢先生の教科書 p.92の定理4の証明の為に、幾何のおもしろさに記載されている公理2を定める。 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー幾何のおもしろさ p.5 （公理2）直線lが3点A、B、Cのいずれも通らないとき、lは3つの線分AB、AC…
下記は定理3を拡張したもので、DE//BCのとき、AD：AB＝AE：ACだけではなく、AD：AB＝AE：AC＝DE：BCも言えることを示したものである。（但し証明に定理3、5を使っているので、事前にこれらを証明しておかなければならない。）ーーーーーーーーーーーーーーー…
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー新体系・中学数学の教科書（下）（芳沢先生の教科書） p.93 （定理5） ［証］（ⅰ）⇔（ⅱ）について：AD：DB＝AE：EC⇔AD/DB＝AE/EC（∵DB≠0、EC≠0）⇔AD・EC＝DB・AE⇔AD・AE＋AD・EC＝AD・AE＋DB・…
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理の証明 p.423 （練習118） ［証］仮定よりDE//BCなので、上記118よりAD：AB＝AE：ACとなり、比例式の外項の積と内項の積は等しいの…
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理の証明 p.423 （118） ［証］∠DAE＝∠BAC（共通）であり、仮定よりDE//BCなので、∠ADE＝∠ABC（同位角）である。よって△ADEと△ABCに…
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー新体系・中学数学の教科書（下）（芳沢先生の教科書） p.91 （定理3） ［証］辺AD、ABを底辺とした△ADE、△ABEの高さをh1とおくとAD/AB＝（（1/2）・AD・h1）/（（1/2）・AB・h1）＝△ADEの面積/…
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学／学研教育出版・牧野正博著 方べきの定理（1） p.421 （116） ［証］（1）∠APC＝∠DPB（対頂角）・・・［1］∠CAP＝∠BDP（弧CBに対する円周角）・・・［2］△APCと△DPBにおいて［1］、［…
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学／学研教育出版・牧野正博著 接線と弦の作る角の定理の証明 p.405 （104） ［証］円Oの直径ADを引き、2点C、Dを結ぶ。すると直線ATは点Aにおける接線なので∠DAT＝90°・・・［1］∠DCAは…
下記の証明は、仮定のAC＝ADを用いていないことに注意。（つまりこれがなくても△ACD∽△AEFが成り立つということ）ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学／学研教育出版・牧野正博著 円と相似 p.420 （練習115） ［証］2点A、…
