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新体系・中学数学の教科書（下）（芳沢先生の教科書） p.93
（定理5）
［証］
（ⅰ）⇔（ⅱ）について：
AD：DB＝AE：EC
⇔AD/DB＝AE/EC（∵DB≠0、EC≠0）
⇔AD・EC＝DB・AE
⇔AD・AE＋AD・EC＝AD・AE＋DB・AE
⇔AD（AE＋EC）＝（AD＋DB）AE
⇔AD・AC＝AB・AE
⇔AD/AB＝AE/AC（∵AB≠0、AC≠0）
⇔AD：AB＝AE：AC
（ⅰ）⇔（ⅲ）について：
AD：DB＝AE：EC
⇔AD/DB＝AE/EC（∵DB≠0、EC≠0）
⇔AD・EC＝DB・AE
⇔AD・EC＋DB・EC＝DB・AE＋DB・EC
⇔（AD＋DB）EC＝DB（AE＋EC）
⇔AB・EC＝DB・AC
⇔AB/DB＝AC/EC（∵DB≠0、EC≠0）
⇔AB：DB＝AC：EC
（ⅱ）⇔（ⅲ）について：
（ⅰ）⇔（ⅱ）より
AD：AB＝AE：AC⇔AD：DB＝AE：EC・・・［1］
（ⅰ）⇔（ⅲ）より
AD：DB＝AE：EC⇔AB：DB＝AC：EC・・・［2］
よって［1］、［2］より
AD：AB＝AE：AC⇔AB：DB＝AC：EC
が成り立つ。■
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