絶対値の性質（６）

|a|=b⇒a=±b

【証】(i) a≧0のとき：

　　　　|a|=aであり、仮定より|a|=bなので、a=b

　　　(ii) a<0のとき：

　　　　|a|=-aであり、仮定より|a|=bなので、a=-b

　　　よって(i),(ii)より、|a|=b⇒a=±bである。■

絶対値の性質（５）

|a|^2=a^2=|-a|^2

【証】a=0のとき、絶対値の定義より、|a|^2=a^2=|-a|^2となる事は明らか。

　　　(i) a>0のとき：

　　　　-a<0なので、絶対値の定義より、

　　　　|a|^2=a^2={-(-a)}^2=|-a|^2

　　　(ii) a<0のとき：

　　　　-a>0なので、絶対値の定義より、

　　　　|a|^2=(-a)^2=a^2=(-a)^2=|-a|^2

　　　よって(i),(ii)より、|a|^2=a^2=|-a|^2が成り立つ。■

絶対値の性質（４）

|a/b|=|a|/|b|（b≠0）

【証】絶対値の性質（２）、（３）より、

　　　|a/b|=|a・(1/b)|=|a||1/b|=|a|・(1/|b|)=|a|/|b|■

絶対値の性質（３）

|1/b|=1/|b|（b≠0）

【証】(i) b>0のとき：

　　　　1/b>0なので、絶対値の定義より、

　　　　|1/b|=1/b=1/|b|

　　　(ii) b<0のとき：

　　　　1/b<0なので、絶対値の定義より、

　　　　|1/b|=-(1/b)=1/(-b)=1/|b|

　　　よって(i),(ii)より、|1/b|=1/|b|（b≠0）が成り立つ。■

絶対値の性質（２）

|ab|=|a||b|

【証】a,bのうち少なくとも1つが0であれば、|ab|=|a||b|となる事は明らか。

　　　(i) a>0、b>0のとき：

　　　　ab>0となるので、絶対値の定義より、

　　　　|ab|=ab=|a||b|

　　　(ii) a>0、b<0のとき：

　　　　ab<0となるので、絶対値の定義より、

　　　　|ab|=-(ab)=a(-b)=|a||b|

　　　(iii) a<0、b>0のとき：

　　　　ab<0となるので、絶対値の定義より、

　　　　|ab|=-(ab)=(-a)b=|a||b|

　　　(iv) a<0、b<0のとき：

　　　　ab>0となるので、絶対値の定義より、

　　　　|ab|=ab=(-a)(-b)=|a||b|

　　　よって(i)～(iv)より、|ab|=|a||b|が成り立つ。■

絶対値の性質（１）

|-a|=|a|

【証】(i) a≧0のとき、-a≦0なので、絶対値の定義より、

　　　　|-a|=-(-a)=a=|a|

　　　(ii) a<0のとき、-a>0なので、絶対値の定義より、

　　　　|-a|=-a=|a|

　　　よって(i)、(ii)より、|-a|=|a|が成り立つ。■

非負の和が0ならばそれらは0である

a≧0、b≧0のとき、

a+b=0⇒a=b=0

【証】a≧0、b≧0であり、そのどちらかが正の値であれば、その和も正の値となって仮定に反するので、a、bどちらも0である。■