べき乗の大小関係

a≧0、b≧0のとき、

a>b⇔a^n>b^n(nは任意の自然数)

が成り立つ。

【証】数学的帰納法により示す。

(i)n=1のとき:

a>b⇔a^1>b^1⇔a^n>b^n

となるので成り立つ。

(ii)n=k(≧1)のとき成り立っていると仮定すると、a>b⇔a^k>b^kである。

　(→):a>bとすると、a-b>0であり、b≧0よりa>0となって、a^k>0となるので、(a^k)(a-b)>0となる。また帰納法の仮定よりa^k-b^k>0となり、b≧0なので、(a^k-b^k)b≧0となる。よって、

a^(k+1)-b^(k+1)=(a^k)(a-b)+(a^k-b^k)b>0

となるので、a^(k+1)>b^(k+1)が成り立つ。

　(←):a^(k+1)>b^(k+1)とすると、

a^(k+1)-b^(k+1)=(a^k)(a-b)+(a^k-b^k)b>0…※

となり、もし、a≦bとすると、a-b≦0となり、a≧0よりa^k≧0なので、(a^k)(a-b)≦0となる。またa≦bなので、帰納法の仮定よりa^k-b^k≦0であり、b≧0なので、(a^k-b^k)b≦0となる。よって、

(a^k)(a-b)+(a^k-b^k)b≦0

となって、※に反するので、a>bである。

　よって、(→)、(←)より、n=k+1のときも成り立つ。

よって、(i)、(ii)が示されたので、数学的帰納法より題意が示された。■

n乗根のべき乗の大小関係

bのn乗根を「n√b」と表す時、

(i)b>1ならば、1<n√b<(n√b)^2<(n√b)^3<…<(n√b)^n=b

(ii)1>b>0ならば、1>n√b>(n√b)^2>(n√b)^3>…>(n√b)^n=b>0

が成り立つ。

【証】(i)a=n√bとすると、a^n=(n√b)^n=b>1であり、b>1よりa=n√b>0である。

もし、a≦1ならば、a>0より、

1≧a≧a^2≧…≧a^n

となって、a^n>1に反するので、a>1である。

よって、1<a<a^2<a^3<…<a^n、すなわち

1<n√b<(n√b)^2<(n√b)^3<…<(n√b)^n=b

が成り立つ。

(ii)a=n√bとすると、a^n=(n√b)^n=b<1であり、b>0よりa=n√b>0である。

もし、a≧1ならば、

1≦a≦a^2≦…≦a^n

となって、a^n<1に反するので、a<1である。

よって、a>0より、

1>a>a^2>a^3>…>a^n、すなわち

1>n√b>(n√b)^2>(n√b)^3>…>(n√b)^n=b>0

が成り立つ。■

天気

最近、天気が悪い。

傘が邪魔臭いし、ちょっと肌寒い。

風邪をひかないように気をつけなければならない。

確率変数

公理論的確率空間によると、確率変数は、標本空間Ω上で定義された実数値関数X=X(ω)(但し、ω∈Ω)が、P-可測関数であるときをいうらしい。

P-可測関数というのは、Fを可測集合族(Ωが有限集合だったらそのべき集合)とすると、任意の実数αに対して、{ω|X(ω)≦α}∈Fが成り立つ事をいうらしい。

この定義によると、確率変数は、単射なのだろうか？例えば、サイコロをふった時のサイコロの目が出る事象を確率変数にする場合、通常は1、2、3、4、5、6と決めると思うが、これを1、2、3、1、2、3と決めてもP-可測関数だと言えるのだろうか？

全く更新してなかった…

標題の通りだ。

数学の事を書かなきゃいけないと思って、

面倒臭くて、更新してこなかった。

数学の勉強は、ずっと続けていたから、

時間があれば、ここにアップしても良いかと思う。

何で再びブログを書こうかと思ったかというと、

Youtubeの「わんこらチャンネル(https://youtube.com/@wankora1)」というのを見たからだ。

この人は、ずっとブログを書き続けているらしい。

マジですごい。

自分も見習いたいと思う。

中学数学／学研教育出版・牧野正博著 相似な三角形の面積の比の利用 p.435 （練習130）

（2）は解けなかったので参考書の解説を読んだ。
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 相似な三角形の面積の比の利用 p.435
（練習130）

［解］
（1）
2点OとP及びAとQをそれぞれ結ぶ。
すると∠AQCは半円O’の直径に対する円周角なので∠AQC＝90°であり、
点Pは半円Oと直線QCとの接点なので∠OPC＝90°である。よって△OCPと△ACQにおいて、
∠OPC＝∠AQC
∠OCP＝∠ACQ（共通）
が成り立ち、2組の角が相等しいので三角形の相似条件より△OCP∽△ACQである。■

（2）
線分ABは半円Oの直径なので半径OAの長さはAB/2であり、仮定よりAB＝4（cm）なので、
OA＝AB/2＝4/2＝2（cm）である。よって仮定よりAC＝7（cm）であり（1）より
△OCP∽△ACQなのでその相似比は、
OC：AC＝（ACーOA）：AC
＝（7ー2）：7
＝5：7
であって、面積比は相似比の2乗に等しいので、
△OCP：△ACQ＝（OC）＾2：（AC）＾2
＝5＾2：7＾2
＝25：49
△ACQ＝（49/25）△OCP
である。一方△ABPと△OCPにおいて、底辺をそれぞれAB、OCとみなすと、この2つの三角形の高さは等しいので、その面積比は底辺の比に等しく
△ABP：△OCP＝AB：OC＝4：5
△ABP＝（4/5）△OCP
となる。よって
△ABP：△ACQ＝（（4/5）△OCP）：（（49/25）△OCP）
＝（4/5）：（49/25）
＝20：49
である。
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 相似な図形の周の長さと面積の比 p.434 （練習129）

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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 相似な図形の周の長さと面積の比 p.434
（練習129）

［解］

（1）

仮定より∠COF＝108°なので、∠EOB＝∠AOBー∠COF＝180°ー108°＝72°

となるから、2つのおうぎ形OEB、OCFの中心角はそれぞれ72°、108°である。

よって仮定よりCA＝AOであり、線分AO、OBは共に半円Oの半径でAO＝OBであるから

OC：OB＝（CA＋AO）：OB

＝2AO：OB

＝2OB：OB

＝2：1

となる。よって2つのおうぎ形OEB、OCFの弧の長さは半径と中心角の大きさに比例するので、

弧CF：弧EB＝（108×2）：（72×1）

＝（3×2）：（2×1）

＝3：1

である。

（2）

2つのおうぎ形OAEとOEBのそれぞれの半径は共に内側の半円の半径であるから等しく、

（1）の議論よりおうぎ形OCF、OEBの中心角はそれぞれ108°、72°であり、

半径が等しいおうぎ形の面積比は、中心角に比例するので、

おうぎ形OAE：おうぎ形OEB＝108：72＝3：2

おうぎ形OAE＝（3/2）×おうぎ形OEB・・・［1］

である。一方仮定よりOA＝ACなので、

OA：OC＝OA：（OA＋AC）

＝OA：2OA

＝1：2

となり、2つのおうぎ形OAE、OCFは相似で、その相似比は半径の比に等しく、

面積比はその2乗に等しいので、

おうぎ形OAE：おうぎ形OCF＝（OA）＾2：（OC）＾2＝1＾2：2＾2＝1：4・・・［2］

となる。よって四角形ACFEの面積はおうぎ形OCFの面積から

おうぎ形OAEの面積を引いたものなので［2］より

四角形ACFE：おうぎ形OAE＝（4ー1）：1＝3：1

四角形ACFE＝3×おうぎ形OAE

となるから［1］より

四角形ACFE：おうぎ形OEB＝3×（（3/2）×おうぎ形OEB）：おうぎ形OEB

＝（9/2）：1

＝9：2

となる。

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