中学数学／学研教育出版・牧野正博著 測量と縮図（2） p.433 （練習128）

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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 測量と縮図（2） p.433
（練習128）

［解］
目の高さの位置をC、点Cを通り直線PBに平行な直線と線分ABとの交点をDとおいて、
縮尺1/1000で△ACDの縮図△A’C’D’を描くと、
CD＝PB＝36m＝3600cm
∠ACD＝32°
より
C’D’＝3600×1/1000＝3.6（cm）
∠A’C’D’＝32°
となって、A’D’を測ると約2.2（cm）なので、ADの長さは、
AD＝2.2×1000＝2200（cm）＝約22（m）
である。よって求めるがけの高さは、
AB＝AD＋DB＝AD＋CP
＝22＋1.5
＝23.5（m）
即ち約24（m）である。

（補足）
高校数学で学ぶ正接（tan）を使うと
tan32°＝AD/CD＝AD/PB＝AD/36
AD＝36×tan32°
≒36×0.625
＝22.5
AB＝AD＋DB＝AD＋CP
＝22.5＋1.5
＝24（m）
と計算だけでがけの高さを求めることができる。
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 測量と縮図（1） p.432 （練習127）

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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 測量と縮図（1） p.432
（練習127）

［解］
縮尺1/500で△ABCの縮図△A’B’C’を描くと、

AC＝18m＝1800cm

BC＝16m＝1600cm

∠ACB＝75°

より

A’C’＝1800×1/500＝3.6（cm）

B’C’＝1600×1/500＝3.2（cm）

∠A’C’B’＝75°

となって、A’B’を測ると約4.1（cm）なので、実際のA、B間の距離は、

AB＝4.1×500＝2050（cm）＝約21（m）

である。

（補足）

高校数学で学ぶ余弦定理を使うと

（AB）＾2＝（BC）＾2＋（AC）＾2ー2×BC×AC×COS75°

≒16＾2＋18＾2ー2×16×18×0.2588

＝256＋324ー149.0688

＝430.9312

AB＝√430.9312≒20.76（m）

と計算だけでA、B間の距離を求めることができる。
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形の重心の定理を利用した証明 p.431 （練習126）

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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形の重心の定理を利用した証明 p.431
（練習126）

［解］

（1）

仮定より四角形ABCDは平行四辺形であり、

平行四辺形の2つの対角線はそれぞれの中点で交わるので、

AO＝OC・・・［1］

BD＝2OD・・・［2］

となり、仮定より

DE＝EC・・・［3］

なので、［1］、［3］より点Fは△DACの重心である。よって

OF：FD＝1：2

OF＝（1/（1＋2））OD

OD＝3OF・・・［4］

となり、［2］、［4］より

BD＝2×3OF＝6OF

となるので、

OF：BD＝1：6

である。■

（2）

仮定より点Gは線分OCの中点なので、OG：OC＝1：2となり、

高さが等しい三角形の面積の比は底辺の比に等しく、仮定より△OFG＝4（㎠）なので、

△OFG：△OFC＝OG：OC＝1：2

△OFC＝2△OFG＝2×4＝8（㎠）

となる。また（1）よりOF：BD＝1：6であり、

高さが等しい三角形の面積の比は底辺の比に等しいので、

△OFC：△BDC＝OF：BD＝1：6

△BDC＝6△OFC＝6×8＝48（㎠）

となり、仮定より四角形ABCDは平行四辺形なので、AD//BC、AB//DCであり、

△BAC＝△BDC＝48（㎠）

△CAD＝△BDC＝48（㎠）

となる。よって仮定より点Eは辺CDの中点なので、

CE：CD＝1：2

となり、高さが等しい三角形の面積の比は底辺の比に等しいので、

△CAE：△CAD＝CE：CD＝1：2

△CAE＝（1/2）△CAD＝（1/2）×48＝24（㎠）

となる。よって

四角形ABCE＝△BAC＋△CAE

＝48＋24

＝72（㎠）

である。
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形の重心の定理の証明 p.430 （練習125）

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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形の重心の定理の証明 p.430
（練習125）

［解］
半直線AGと辺BCとの交点をFとする。

すると仮定より点Gは△ABCの重心なので、

AG：GF＝2：1

となり、仮定よりDE//BCなので、三角形と線分の比の定理より

AD：DB＝AG：GF＝2：1

AD＝2DB＝2×2＝4（cm）

AE：EC＝AG：GF＝2：1

EC＝（1/2）AE＝（1/2）×5＝2.5（cm）

DE：BC＝AD：AB

＝4：（4＋2）

＝2：3

DE＝（2/3）BC＝（2/3）×6＝4（cm）

となる。
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形の重心の定理の証明 p.430 （125）

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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形の重心の定理の証明 p.430
（125）

［証］
2点M、Lを結び、2点N、Lを結ぶ。
すると3点M、N、Lはそれぞれ△ABCの辺AC、AB、BCの中点なので中点連結定理より
AB//ML・・・［1］
AB：ML＝2：1・・・［2］
AC//NL・・・［3］
AC：NL＝2：1・・・［4］
となって、［1］、［3］及び平行線の錯角より
∠GBA＝∠GML・・・［5］
∠GAB＝∠GLM・・・［6］
∠HCA＝∠HNL・・・［7］
∠HAC＝∠HLN・・・［8］
となる。よって△GABと△GLM、△HACと△HLNにおいて、
それぞれ2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より
△GAB∽△GLM、△HAC∽△HLNとなって、相似な図形の
対応する辺の比はすべて等しいので、［2］、［4］より
AG：GL＝AB：ML＝2：1
AH：HL＝AC：NL＝2：1
となるので、AG：GL＝AH：HL
が成り立つ。よって2点G、Hは線分AL上の点なので、
G＝Hである。■
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 （練習124）

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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429

（練習124）

 ［証］

（1）
2点NとMを結ぶ。
すると仮定より2点N、Mはそれぞれ△CABの2辺AC、BCの中点なので、中点連結定理より
NM//AB・・・［1］
NM＝（1/2）AB・・・［2］
となる。よって仮定よりEF＝（1/2）ABなので［2］より
EF＝NM・・・［3］
となり、［1］よりEF//NMとなるので、平行線の錯角より
∠PEF＝∠PMN・・・［4］
∠PFE＝∠PNM・・・［5］
となる。よって△PEFと△PMNにおいて［3］、［4］、［5］が成り立ち、
1辺とその両端の角が相等しいので、三角形の合同条件より△PEF≡△PMNとなり、
合同な図形の対応する辺の長さは等しいので、FP＝PNとなるから点PはFNの中点である。■

（2）
2点NとM、2点EとNをそれぞれ結ぶ。
すると仮定よりCN＝NA、△ABC＝2aなので、辺ACを底辺とした△ABCの高さをhとすると、
△ABC＝2a
（1/2）hAC＝2a
（1/2）h（CN＋NA）＝2a
（1/2）hCN＋（1/2）hCN＝2a
2△CBN＝2a
△CBN＝a
△BMN＋△CMN＝a・・・［1］
となり、一方仮定より2点M、Nはそれぞれ△CBAの辺BC、ACの中点なので、
中点連結定理よりBA//MNとなって、
△BMN＝△EMN＝△EPN＋△PMN・・・［2］
となる。ここで（1）よりFP＝PNなので、△EFP＝△EPNとなるから、［1］、［2］より
△BMN＋△CMN＝a
（△EPN＋△PMN）＋△CMN＝a
△EFP＋四角形PMCN＝a
となる。■

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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 （124の参考2）

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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429

（124の参考2）
124の問題でAC＝BDならば四角形PQRSはひし形である。

［証］
2点AとC、2点BとDを結ぶ。すると仮定より4点P、Q、R、Sは
それぞれ四角形ABCDの4辺AB、BC、DC、ADの中点なので、中点連結定理より
PQ＝（1/2）AC・・・［1］
QR＝（1/2）BD・・・［2］
SR＝（1/2）AC・・・［3］
PS＝（1/2）BD・・・［4］
となり、［1］、［3］より
PQ＝SR・・・［5］
となって、［2］、［4］より
PS＝QR・・・［6］
となる。よって仮定よりAC＝BDなので、［3］、［4］より
SR＝（1/2）AC＝（1/2）BD＝PS・・・［7］
となって、［5］、［6］、［7］より
PQ＝SR＝PS＝QR
となるので、ひし形の定義より四角形PQRSはひし形である。■
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