公理論的確率空間によると、確率変数は、標本空間Ω上で定義された実数値関数X=X(ω)(但し、ω∈Ω)が、P-可測関数であるときをいうらしい。
P-可測関数というのは、Fを可測集合族(Ωが有限集合だったらそのべき集合)とすると、任意の実数αに対して、{ω|X(ω)≦α}∈Fが成り立つ事をいうらしい。
この定義によると、確率変数は、単射なのだろうか？例えば、サイコロをふった時のサイコロの目が出る事象を確率変数にする場合、通常は1、2、3、4、5、6と決めると思うが、これを1、2、3、1、2、3と決めてもP-可測関数だと言えるのだろうか？
