MathTriangleの雑記帳

主に数学について書いていくブログです。数学の他にパズル、謎解き、音楽にも興味があります。

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 相似な三角形の面積の比の利用 p.435 (練習130)

(2)は解けなかったので参考書の解説を読んだ。
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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 相似な三角形の面積の比の利用 p.435
(練習130)

f:id:MathTriangle:20170618043219j:image

[解]
(1)
2点OとP及びAとQをそれぞれ結ぶ。
すると∠AQCは半円O’の直径に対する円周角なので∠AQC=90°であり、
点Pは半円Oと直線QCとの接点なので∠OPC=90°である。よって△OCPと△ACQにおいて、
∠OPC=∠AQC
∠OCP=∠ACQ(共通)
が成り立ち、2組の角が相等しいので三角形の相似条件より△OCP∽△ACQである。■

 

(2)
線分ABは半円Oの直径なので半径OAの長さはAB/2であり、仮定よりAB=4(cm)なので、
OA=AB/2=4/2=2(cm)である。よって仮定よりAC=7(cm)であり(1)より
△OCP∽△ACQなのでその相似比は、
OC:AC=(ACーOA):AC
=(7ー2):7
=5:7
であって、面積比は相似比の2乗に等しいので、
△OCP:△ACQ=(OC)^2:(AC)^2
=5^2:7^2
=25:49
△ACQ=(49/25)△OCP
である。一方△ABPと△OCPにおいて、底辺をそれぞれAB、OCとみなすと、この2つの三角形の高さは等しいので、その面積比は底辺の比に等しく
△ABP:△OCP=AB:OC=4:5
△ABP=(4/5)△OCP
となる。よって
△ABP:△ACQ=((4/5)△OCP):((49/25)△OCP)
=(4/5):(49/25)
=20:49
である。
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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 相似な図形の周の長さと面積の比 p.434 (練習129)

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 相似な図形の周の長さと面積の比 p.434
(練習129)

f:id:MathTriangle:20170617181922j:image

[解]

(1)

仮定より∠COF=108°なので、∠EOB=∠AOBー∠COF=180°ー108°=72°

となるから、2つのおうぎ形OEB、OCFの中心角はそれぞれ72°、108°である。

よって仮定よりCA=AOであり、線分AO、OBは共に半円Oの半径でAO=OBであるから

OC:OB=(CA+AO):OB

=2AO:OB

=2OB:OB

=2:1

となる。よって2つのおうぎ形OEB、OCFの弧の長さは半径と中心角の大きさに比例するので、

弧CF:弧EB=(108×2):(72×1)

=(3×2):(2×1)

=3:1

である。

 

(2)

2つのおうぎ形OAEとOEBのそれぞれの半径は共に内側の半円の半径であるから等しく、

(1)の議論よりおうぎ形OCF、OEBの中心角はそれぞれ108°、72°であり、

半径が等しいおうぎ形の面積比は、中心角に比例するので、

おうぎ形OAE:おうぎ形OEB=108:72=3:2

おうぎ形OAE=(3/2)×おうぎ形OEB・・・[1]

である。一方仮定よりOA=ACなので、

OA:OC=OA:(OA+AC)

=OA:2OA

=1:2

となり、2つのおうぎ形OAE、OCFは相似で、その相似比は半径の比に等しく、

面積比はその2乗に等しいので、

おうぎ形OAE:おうぎ形OCF=(OA)^2:(OC)^2=1^2:2^2=1:4・・・[2]

となる。よって四角形ACFEの面積はおうぎ形OCFの面積から

おうぎ形OAEの面積を引いたものなので[2]より

四角形ACFE:おうぎ形OAE=(4ー1):1=3:1

四角形ACFE=3×おうぎ形OAE

となるから[1]より

四角形ACFE:おうぎ形OEB=3×((3/2)×おうぎ形OEB):おうぎ形OEB

=(9/2):1

=9:2

となる。

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 測量と縮図(2) p.433 (練習128)

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 測量と縮図(2) p.433
(練習128)

f:id:MathTriangle:20170617170338j:image

[解]
目の高さの位置をC、点Cを通り直線PBに平行な直線と線分ABとの交点をDとおいて、
縮尺1/1000で△ACDの縮図△A’C’D’を描くと、
CD=PB=36m=3600cm
∠ACD=32°
より
C’D’=3600×1/1000=3.6(cm)
∠A’C’D’=32°
となって、A’D’を測ると約2.2(cm)なので、ADの長さは、
AD=2.2×1000=2200(cm)=約22(m)
である。よって求めるがけの高さは、
AB=AD+DB=AD+CP
=22+1.5
=23.5(m)
即ち約24(m)である。

 

(補足)
高校数学で学ぶ正接(tan)を使うと
tan32°=AD/CD=AD/PB=AD/36
AD=36×tan32°
≒36×0.625
=22.5
AB=AD+DB=AD+CP
=22.5+1.5
=24(m)
と計算だけでがけの高さを求めることができる。
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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 測量と縮図(1) p.432 (練習127)

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 測量と縮図(1) p.432
(練習127)

f:id:MathTriangle:20170617143010j:image

[解]
縮尺1/500で△ABCの縮図△A’B’C’を描くと、

AC=18m=1800cm

BC=16m=1600cm

∠ACB=75°

より

A’C’=1800×1/500=3.6(cm)

B’C’=1600×1/500=3.2(cm)

∠A’C’B’=75°

となって、A’B’を測ると約4.1(cm)なので、実際のA、B間の距離は、

AB=4.1×500=2050(cm)=約21(m)

である。

 

(補足)

高校数学で学ぶ余弦定理を使うと

(AB)^2=(BC)^2+(AC)^2ー2×BC×AC×COS75°

≒16^2+18^2ー2×16×18×0.2588

=256+324ー149.0688

=430.9312

AB=√430.9312≒20.76(m)

と計算だけでA、B間の距離を求めることができる。
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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の重心の定理を利用した証明 p.431 (練習126)

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の重心の定理を利用した証明 p.431
(練習126)

f:id:MathTriangle:20170617125435j:image

[解]

(1)

仮定より四角形ABCDは平行四辺形であり、

平行四辺形の2つの対角線はそれぞれの中点で交わるので、

AO=OC・・・[1]

BD=2OD・・・[2]

となり、仮定より

DE=EC・・・[3]

なので、[1]、[3]より点Fは△DACの重心である。よって

OF:FD=1:2

OF=(1/(1+2))OD

OD=3OF・・・[4]

となり、[2]、[4]より

BD=2×3OF=6OF

となるので、

OF:BD=1:6

である。■

 

(2)

仮定より点Gは線分OCの中点なので、OG:OC=1:2となり、

高さが等しい三角形の面積の比は底辺の比に等しく、仮定より△OFG=4(㎠)なので、

△OFG:△OFC=OG:OC=1:2

△OFC=2△OFG=2×4=8(㎠)

となる。また(1)よりOF:BD=1:6であり、

高さが等しい三角形の面積の比は底辺の比に等しいので、

△OFC:△BDC=OF:BD=1:6

△BDC=6△OFC=6×8=48(㎠)

となり、仮定より四角形ABCDは平行四辺形なので、AD//BC、AB//DCであり、

△BAC=△BDC=48(㎠)

△CAD=△BDC=48(㎠)

となる。よって仮定より点Eは辺CDの中点なので、

CE:CD=1:2

となり、高さが等しい三角形の面積の比は底辺の比に等しいので、

△CAE:△CAD=CE:CD=1:2

△CAE=(1/2)△CAD=(1/2)×48=24(㎠)

となる。よって

四角形ABCE=△BAC+△CAE

=48+24

=72(㎠)

である。
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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の重心の定理の証明 p.430 (練習125)

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の重心の定理の証明 p.430
(練習125)

f:id:MathTriangle:20170617120403j:image

[解]
半直線AGと辺BCとの交点をFとする。

すると仮定より点Gは△ABCの重心なので、

AG:GF=2:1

となり、仮定よりDE//BCなので、三角形と線分の比の定理より

AD:DB=AG:GF=2:1

AD=2DB=2×2=4(cm)

AE:EC=AG:GF=2:1

EC=(1/2)AE=(1/2)×5=2.5(cm)

DE:BC=AD:AB

=4:(4+2)

=2:3

DE=(2/3)BC=(2/3)×6=4(cm)

となる。
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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の重心の定理の証明 p.430 (125)

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の重心の定理の証明 p.430
(125)

f:id:MathTriangle:20170617110406j:image

[証]
2点M、Lを結び、2点N、Lを結ぶ。
すると3点M、N、Lはそれぞれ△ABCの辺AC、AB、BCの中点なので中点連結定理より
AB//ML・・・[1]
AB:ML=2:1・・・[2]
AC//NL・・・[3]
AC:NL=2:1・・・[4]
となって、[1]、[3]及び平行線の錯角より
GBA=∠GML・・・[5]
∠GAB=∠GLM・・・[6]
∠HCA=∠HNL・・・[7]
∠HAC=∠HLN・・・[8]
となる。よって△GABと△GLM、△HACと△HLNにおいて、
それぞれ2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より
△GAB∽△GLM、△HAC∽△HLNとなって、相似な図形の
対応する辺の比はすべて等しいので、[2]、[4]より
AG:GL=AB:ML=2:1
AH:HL=AC:NL=2:1
となるので、AG:GL=AH:HL
が成り立つ。よって2点G、Hは線分AL上の点なので、
G=Hである。■
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