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MathTriangleの雑記帳

主に数学について書いていくブログです。数学の他にパズル、謎解き、音楽にも興味があります。

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 (練習124)

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429

(練習124)

f:id:MathTriangle:20170529041413p:plain

 [証]

(1)
2点NとMを結ぶ。
すると仮定より2点N、Mはそれぞれ△CABの2辺AC、BCの中点なので、中点連結定理より
NM//AB・・・[1]
NM=(1/2)AB・・・[2]
となる。よって仮定よりEF=(1/2)ABなので[2]より
EF=NM・・・[3]
となり、[1]よりEF//NMとなるので、平行線の錯角より
∠PEF=∠PMN・・・[4]
∠PFE=∠PNM・・・[5]
となる。よって△PEFと△PMNにおいて[3]、[4]、[5]が成り立ち、
1辺とその両端の角が相等しいので、三角形の合同条件より△PEF≡△PMNとなり、
合同な図形の対応する辺の長さは等しいので、FP=PNとなるから点PはFNの中点である。■

 

(2)
2点NとM、2点EとNをそれぞれ結ぶ。
すると仮定よりCN=NA、△ABC=2aなので、辺ACを底辺とした△ABCの高さをhとすると、
△ABC=2a
(1/2)hAC=2a
(1/2)h(CN+NA)=2a
(1/2)hCN+(1/2)hCN=2a
2△CBN=2a
△CBN=a
△BMN+△CMN=a・・・[1]
となり、一方仮定より2点M、Nはそれぞれ△CBAの辺BC、ACの中点なので、
中点連結定理よりBA//MNとなって、
△BMN=△EMN=△EPN+△PMN・・・[2]
となる。ここで(1)よりFP=PNなので、△EFP=△EPNとなるから、[1]、[2]より
△BMN+△CMN=a
(△EPN+△PMN)+△CMN=a
△EFP+四角形PMCN=a
となる。■

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 (124の参考2)

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429

(124の参考2)
124の問題でAC=BDならば四角形PQRSはひし形である。

f:id:MathTriangle:20170528015753p:plain

[証]
2点AとC、2点BとDを結ぶ。すると仮定より4点P、Q、R、Sは
それぞれ四角形ABCDの4辺AB、BC、DC、ADの中点なので、中点連結定理より
PQ=(1/2)AC・・・[1]
QR=(1/2)BD・・・[2]
SR=(1/2)AC・・・[3]
PS=(1/2)BD・・・[4]
となり、[1]、[3]より
PQ=SR・・・[5]
となって、[2]、[4]より
PS=QR・・・[6]
となる。よって仮定よりAC=BDなので、[3]、[4]より
SR=(1/2)AC=(1/2)BD=PS・・・[7]
となって、[5]、[6]、[7]より
PQ=SR=PS=QR
となるので、ひし形の定義より四角形PQRSはひし形である。■
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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 (124の参考1)

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429

(124の参考1)
124の問題でAC⊥BDならば四角形PQRSは長方形である。

f:id:MathTriangle:20170528004708p:plain

[証]
2点AとC、2点BとDを結び、
線分ACと辺PSとの交点をT、線分BDと辺PQとの交点をU、
線分ACと辺QRとの交点をV、線分BDと辺SRとの交点をW、
線分ACとBDとの交点をXとする。すると4点P、Q、R、Sはそれぞれ四角形ABCDの
4辺AB、BC、DC、ADの中点なので、中点連結定理よりPS//BD、PQ//AC、SR//ACとなるので、
PT//UX、TS//XW、PU//TX、SW//TXとなり、平行四辺形の定義より
四角形PUXT、TXWSは平行四辺形である。
よって平行四辺形の対角は等しいので、∠UPT=∠UXT、∠WST=∠WXTとなり、
仮定よりAC⊥BDなので、
∠UPT=∠UXT=∠AXB=90°
∠WST=∠WXT=∠AXD=90°
となって、124より四角形PQRSは平行四辺形であって、
平行四辺形の対角は等しいので、
∠QPS=∠UPT=90°
∠QRS=∠QPS=90°
RSP=∠WST=90°
∠RQP=∠RSP=90°
となる。よって四角形PQRSの4つの角がすべて等しいので、
長方形の定義より四角形PQRSは長方形である。■
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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 (124)

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429

(124)

f:id:MathTriangle:20170527114750j:image

[証]
2点AとC、2点BとDを結ぶ。
すると仮定より2点S、Rはそれぞれ△DACにおいて辺DA、DCの中点なので、中点連結定理より
SR//AC・・・[1]
となり、同様にして仮定より2点P、Qがそれぞれ△BCAの辺BA、BCの中点、
2点P、Sがそれぞれ△ABDの辺AB、ADの中点、
2点R、Qがそれぞれ△CDBの辺CD、BCの中点なので、再び中点連結定理より
PQ//AC・・・[2]
PS//BD・・・[3]
QR//BD・・・[4]
となる。よって[1]、[2]よりPQ//SR、[3]、[4]よりPS//QRとなるので、
平行四辺形の定義より四角形PQRSは平行四辺形である。■

 

[別証](参考書のやり方)
2点BとDを結ぶ。
すると△ABDにおいて、仮定より2点P、Sはそれぞれ辺AB、ADの中点なので、中点連結定理より
PS//BD・・・[1]
PS=(1/2)BD・・・[2]
となり、同様に△CBDにおいて、2点Q、Rはそれぞれ辺BC、DCの中点なので、再び中点連結定理より
QR//BD・・・[3]
QR=(1/2)BD・・・[4]
となる。よって[1]、[3]よりPS//QR、[2]、[4]よりPS=QR
となって、四角形PQRSにおいて、1組の対辺が平行で、その長さが等しいので、
平行四辺形の性質より四角形PQRSは平行四辺形である。■
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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理と線分の長さ p.428 (練習123)

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理と線分の長さ p.428

(練習123)

f:id:MathTriangle:20170527110527j:image

[解]
(1)
△AECにおいて、2点D、Fはそれぞれ辺AE、ACの中点なので、中点連結定理より
EG//DF・・・[1]
DF=(1/2)EC
=(1/2)(EG+GC
=(1/2)EG+(1/2)×6
=(1/2)EG+3・・・[2]
となり、△BDFにおいて、点Eは辺BDの中点であり、[1]が成り立つので、
中点連結定理の関連定理より点Gも△BDFの辺BFの中点である。
よって△BDFに再び中点連結定理を用いると、
EG=(1/2)DF
となるので、これに[2]を代入すると、
DF=(1/2)((1/2)DF)+3
=(1/4)DF+3
(1ー(1/4))DF=3
(3/4))DF=3
DF=(4/3))3
=4(cm)
となる。

 

(2)
△ABCにおいて、2点P、Qはそれぞれ辺AB、ACの中点なので、中点連結定理より
PQ//BC・・・[1]
PQ:BC=1:2・・・[2]
となり、△RQPと△RBCにおいて、[1]より
∠RQP=∠RBC(平行線の錯角)
∠RPQ=∠RCB(平行線の錯角)
となって、2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より
△RQP∽△RBC
となり、相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、[2]より
RQ:BR=PQ:BC=1:2
となるから、RQ=4(cm)より
BR=2RQ=2×4=8(cm)
となる。
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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理と線分の長さ p.428 (123)

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理と線分の長さ p.428

(123)

f:id:MathTriangle:20170518050907p:plain

[解]
仮定より2点M、Dはそれぞれ△BEAの辺BA、BEの中点なので中点連結定理より
MD//AE・・・[1]
MD=(1/2)AE・・・[2]
となり、仮定よりMD=4(cm)なので、[2]より
(1/2)AE=MD=4
AE=2×4=8(cm)
となる。よって仮定より点Eは△CMDの辺CDの中点であり、[1]より
FE//MDなので、中点連結定理の関連定理より
MF=FCとなるから、点Fも△CMDの辺CMの中点である。
よって△CMDに再び中点連結定理を用いると
FE=(1/2)MD=(1/2)×4=2(cm)
となるので、
AF=AEーFE=8ー2=6(cm)
となる。

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中点連結定理の関連定理

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(中点連結定理の関連定理)
△ABCの辺ABの中点Mを通り、辺BCに平行な直線と辺ACとの交点をNとすると、AN=NCが成り立つ。

f:id:MathTriangle:20170518040858j:plain

[証]
仮定よりAM=MBなので、
AM:MB=1:1
であり、仮定よりMN//BCなので、三角形と線分の比の定理より
AN:NC=AM:MB=1:1
となるから、AN=NCである。■

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