|a|=b⇒a=±b
【証】(i) a≧0のとき:
|a|=aであり、仮定より|a|=bなので、a=b
(ii) a<0のとき:
|a|=-aであり、仮定より|a|=bなので、a=-b
よって(i),(ii)より、|a|=b⇒a=±bである。■
|ab|=|a||b|
【証】a,bのうち少なくとも1つが0であれば、|ab|=|a||b|となる事は明らか。
(i) a>0、b>0のとき:
ab>0となるので、絶対値の定義より、
|ab|=ab=|a||b|
(ii) a>0、b<0のとき:
ab<0となるので、絶対値の定義より、
|ab|=-(ab)=a(-b)=|a||b|
(iii) a<0、b>0のとき:
ab<0となるので、絶対値の定義より、
|ab|=-(ab)=(-a)b=|a||b|
(iv) a<0、b<0のとき:
ab>0となるので、絶対値の定義より、
|ab|=ab=(-a)(-b)=|a||b|
よって(i)~(iv)より、|ab|=|a||b|が成り立つ。■
a≧0、b≧0のとき、
a+b=0⇒a=b=0
【証】a≧0、b≧0であり、そのどちらかが正の値であれば、その和も正の値となって仮定に反するので、a、bどちらも0である。■