新体系・中学数学の教科書（下）（芳沢先生の教科書） p.93 （定理5）

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新体系・中学数学の教科書（下）（芳沢先生の教科書） p.93

（定理5）

［証］
（ⅰ）⇔（ⅱ）について：
AD：DB＝AE：EC
⇔AD/DB＝AE/EC（∵DB≠0、EC≠0）
⇔AD・EC＝DB・AE
⇔AD・AE＋AD・EC＝AD・AE＋DB・AE
⇔AD（AE＋EC）＝（AD＋DB）AE
⇔AD・AC＝AB・AE
⇔AD/AB＝AE/AC（∵AB≠0、AC≠0）
⇔AD：AB＝AE：AC

（ⅰ）⇔（ⅲ）について：
AD：DB＝AE：EC
⇔AD/DB＝AE/EC（∵DB≠0、EC≠0）
⇔AD・EC＝DB・AE
⇔AD・EC＋DB・EC＝DB・AE＋DB・EC
⇔（AD＋DB）EC＝DB（AE＋EC）
⇔AB・EC＝DB・AC
⇔AB/DB＝AC/EC（∵DB≠0、EC≠0）
⇔AB：DB＝AC：EC

（ⅱ）⇔（ⅲ）について：
（ⅰ）⇔（ⅱ）より
AD：AB＝AE：AC⇔AD：DB＝AE：EC・・・［1］
（ⅰ）⇔（ⅲ）より
AD：DB＝AE：EC⇔AB：DB＝AC：EC・・・［2］
よって［1］、［2］より
AD：AB＝AE：AC⇔AB：DB＝AC：EC

が成り立つ。■
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理の証明 p.423 （練習118）

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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理の証明 p.423

（練習118）

［証］
仮定よりDE//BCなので、上記118より
AD：AB＝AE：AC
となり、比例式の外項の積と内項の積は等しいので、
AD・AC＝AB・AE
AD・（AE＋EC）＝（AD＋DB）・AE
AD・AE＋AD・EC＝AD・AE＋DB・AE
AD・EC＝DB・AE
AD：DB＝AE：EC
となる。■
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理の証明 p.423 （118）

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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理の証明 p.423

（118）

［証］
∠DAE＝∠BAC（共通）
であり、仮定よりDE//BCなので、
∠ADE＝∠ABC（同位角）
である。よって△ADEと△ABCにおいて、
2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より
△ADE∽△ABC
である。よって相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
AD：AB＝AE：AC＝DE：BC
が成り立つ。■
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新体系・中学数学の教科書（下）（芳沢先生の教科書） p.91 （定理3）

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新体系・中学数学の教科書（下）（芳沢先生の教科書） p.91

（定理3）

［証］
辺AD、ABを底辺とした△ADE、△ABEの高さをh1とおくと
AD/AB＝（（1/2）・AD・h1）/（（1/2）・AB・h1）
＝△ADEの面積/△ABEの面積
となるので、
AD：AB＝△ADEの面積：△ABEの面積・・・［1］
となる。よって仮定より線分DE、BCは平行なので、
△DEBの面積＝△DECの面積
となり、
△ABEの面積＝△ADEの面積＋△DEBの面積
＝△ADEの面積＋△DECの面積
＝△ADCの面積・・・［2］
となる。一方辺AE、ACを底辺とした△ADE、△ADCの高さをh2とおくと
AE/AC＝（（1/2）・AE・h2）/（（1/2）・AC・h2）
＝△ADEの面積/△ADCの面積
となるので、
AE：AC＝△ADEの面積：△ADCの面積・・・［3］
となる。よって［1］〜［3］より
AD：AB＝AE：AC
となる。■
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 方べきの定理（1） p.421 （116）

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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 方べきの定理（1） p.421

（116）

［証］
（1）
∠APC＝∠DPB（対頂角）・・・［1］
∠CAP＝∠BDP（弧CBに対する円周角）・・・［2］
△APCと△DPBにおいて［1］、［2］が成り立ち、2組の角が相等しいので、
三角形の相似条件より△APC∽△DPBである。
よって相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
PA：PD＝PC：PB
となり、比例式の外項の積と内項の積は等しいので、
PA×PB＝PC×PD
となる。■

（2）
AとCを結び、BとDを結ぶ。すると、
∠APC＝∠DPB（共通）・・・［1］
であり、四角形ACDBは内接四角形で∠ACPはその外角なので、内接四角形の性質より
∠ACP＝∠DBP・・・［2］
となる。よって△APCと△DPBにおいて［1］、［2］が成り立ち、
2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より△APC∽△DPBである。
よって相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
PA：PD＝PC：PB
となり、比例式の外項の積と内項の積は等しいので、
PA×PB＝PC×PD
となる。■
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 接線と弦の作る角の定理の証明 p.405 （104）

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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 接線と弦の作る角の定理の証明 p.405

（104）

［証］
円Oの直径ADを引き、2点C、Dを結ぶ。
すると直線ATは点Aにおける接線なので∠DAT＝90°・・・［1］
∠DCAは半円の弧に対する円周角なので∠DCA＝90°・・・［2］
更に弧DBに対する円周角より∠DAB＝∠DCB・・・［3］
となる。よって［1］〜［3］より
∠BAT＝∠DATー∠DAB
＝90°ー∠DCB
＝∠DCAー∠DCB
＝∠BCA
となる。■

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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 円と相似 p.420 （練習115）

下記の証明は、仮定のAC＝ADを用いていないことに注意。
（つまりこれがなくても△ACD∽△AEFが成り立つということ）
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 円と相似 p.420

（練習115）

［証］
2点A、Bを結ぶ。すると、
弧ABに対する円周角より∠ACB＝∠ADB・・・［1］
弧DBに対する円周角より∠BCD＝∠BAD・・・［2］
弧AFに対する円周角より∠ABF＝∠AEF・・・［3］
となり、△ADBの内角と外角の関係より∠ADB＋∠BAD＝∠ABF・・・［4］
となるので、［1］〜［4］より
∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝∠AEF・・・［5］
となる。また弧CDに対する円周角より
∠CAD＝∠CBD・・・［6］
弧EFに対する円周角より∠EBF＝∠EAF・・・［7］
となり、∠CBDと∠EBFは対頂角の関係にあって、
∠CBD＝∠EBF・・・［8］
となるので、［6］〜［8］より
∠CAD＝∠EAF・・・［9］
となる。よって△ACDと△AEFにおいて、［5］、［9］が成り立ち、
2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より△ACD∽△AEFである。■

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