過去のtwitterのつぶやきより引用。
まずは階乗と二項係数を下記の通り定義する。
--------------------------------------------------------------------------------------------------
(定義1:階乗)
nを非負整数(0以上の整数)としたとき、n!を次の(1),(2)により定義する。
(1) 0!:=1
(2) n!:=n・(n-1)!
(このような定義の仕方を再帰的定義という。)
--------------------------------------------------------------------------------------------------
(定義2:二項係数)
n,kを１以上の整数として、n≧kとする。このとき
n_C_k:=n!/(k!(n-k)!)
で定義される数n_C_kを２項係数という。
(定義の仕方からn_C_kは、相異なるn個のものからk個取り出す組み合わせの総数に他ならない。)
--------------------------------------------------------------------------------------------------
以上の定義より、以下の命題、定理が導かれる。
--------------------------------------------------------------------------------------------------
(命題1:二項係数)
(i) n_C_0＝1
(ii) n_C_k＝n_C_(n-k)
(iii) (n+1)_C_k＝n_C_k＋n_C_(k-1)
(iv)n_C_n＝1
[証]
(i)について：
n_C_0＝n!/(0!・(n-0)!)＝n!/n!＝1
(ii)について：
n_C_k＝n!/(k!・(n-k)!)＝n!/((n-k)!・(n-(n-k))!)＝n_C_(n-k)
(iii)について：
(n+1)_C_k＝(n+1)!/(k!・(n+1-k)!)＝((n+1-k+k)・n!)/(k!・(n+1-k)!)
＝((n+1-k)・n!)/((n+1-k)・k!・(n+1-k-1)!)＋(k・n!)/(k・(k-1)!・(n-(k-1))!)
＝n!/(k!・(n-k)!)＋n!/((k-1)!・(n-(k-1))!)＝n_C_k＋n_C_(k-1)
(iv)について：
(i),(ii)よりn_C_n＝n_C_(n-n)＝n_C_0＝1■
--------------------------------------------------------------------------------------------------
(定理1:二項定理)
a,bを実数として、nを1以上の整数としたとき、
(a+b)^n＝Σ[k=0,n](n_C_k・a^(n-k)・b^k)
が成り立つ。
[証]
nについての数学的帰納法により示す。
(i)n＝1のとき：
(a+b)^n
＝(a+b)^1
＝1_C_0・a^(1-0)・b^0＋1_C_1・a^(1-1)・b^1
＝Σ[k=0,1](1_C_k・a^(1-k)・b^k)
＝Σ[k=0,n](n_C_k・a^(n-k)・b^k)
となるので成り立つ。
(ii)n＝m+1(m≧1)のとき：
n＝mのとき成り立っていると仮定すると、
(a+b)^m＝Σ[k=0,m](m_C_k・a^(m-k)・b^k)
となるので、
(a+b)^(m+1)
＝(a+b)・(a+b)^m
＝(a+b)・(Σ[k=0,m](m_C_k・a^(m-k)・b^k))
＝a(m_C_0・a^(m-0)・b^0＋Σ[k=1,m](m_C_k・a^(m-k)・b^k))＋b(Σ[k=0,m-1](m_C_k・a^(m-k)・b^k)＋m_C_m・a^(m-m)・b^m)
＝a^(m+1)＋Σ[k=1,m](m_C_k・a^(m+1-k)・b^k)＋Σ[k=0,m-1](m_C_k・a^(m-k)・b^(k+1))＋b^(m+1)
＝a^(m+1)＋Σ[k=1,m](m_C_k・a^(m+1-k)・b^k)＋Σ[l=1,m](m_C_(l-1)・a^(m-(l-1))・b^((l-1)+1))＋b^(m+1)
＝a^(m+1)＋Σ[k=1,m](m_C_k・a^(m+1-k)・b^k)＋Σ[k=1,m](m_C_(k-1)・a^(m+1-k)・b^k)＋b^(m+1)
＝a^(m+1)＋Σ[k=1,m]((m_C_k＋m_C_(k-1))・a^(m+1-k)・b^k)＋b^(m+1)
＝(m+1)_C_0・a^(m+1-0)・b^0＋Σ[k=1,m]((m+1)_C_k・a^(m+1-k)・b^k)＋(m+1)_C_(m+1)・a^(m+1-(m+1))・b^(m+1)
＝Σ[k=0,m+1]((m+1)_C_k・a^(m+1-k)・b^k)
となって、n＝m+1のときも成り立つ。
よって(i),(ii)が成り立つので数学的帰納法より、
1以上の整数nについて、
(a+b)^n＝Σ[k=0,n](n_C_k・a^(n-k)・b^k)
が成り立つ。■
--------------------------------------------------------------------------------------------------
