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MathTriangleの雑記帳

主に数学について書いていくブログです。数学の他にパズル、謎解き、音楽にも興味があります。

階乗・二項係数の定義、命題及び定理

過去のtwitterのつぶやきより引用。

まずは階乗と二項係数を下記の通り定義する。

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(定義1:階乗)

nを非負整数(0以上の整数)としたとき、n!を次の(1),(2)により定義する。

(1) 0!:=1

(2) n!:=n・(n-1)!

(このような定義の仕方を再帰的定義という。)

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(定義2:二項係数)

n,kを1以上の整数として、n≧kとする。このとき

n_C_k:=n!/(k!(n-k)!)

で定義される数n_C_kを2項係数という。

(定義の仕方からn_C_kは、相異なるn個のものからk個取り出す組み合わせの総数に他ならない。)

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以上の定義より、以下の命題、定理が導かれる。

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(命題1:二項係数)
(i) n_C_0=1
(ii) n_C_k=n_C_(n-k)
(iii) (n+1)_C_k=n_C_k+n_C_(k-1)

(iv)n_C_n=1
[証]
(i)について:

n_C_0=n!/(0!・(n-0)!)=n!/n!=1
(ii)について:

n_C_k=n!/(k!・(n-k)!)=n!/((n-k)!・(n-(n-k))!)=n_C_(n-k)
(iii)について:

(n+1)_C_k=(n+1)!/(k!・(n+1-k)!)=((n+1-k+k)・n!)/(k!・(n+1-k)!)

=((n+1-k)・n!)/((n+1-k)・k!・(n+1-k-1)!)+(k・n!)/(k・(k-1)!・(n-(k-1))!)
=n!/(k!・(n-k)!)+n!/((k-1)!・(n-(k-1))!)=n_C_k+n_C_(k-1)
(iv)について:

(i),(ii)よりn_C_n=n_C_(n-n)=n_C_0=1■

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(定理1:二項定理)
a,bを実数として、nを1以上の整数としたとき、
(a+b)^n=Σ[k=0,n](n_C_k・a^(n-k)・b^k)
が成り立つ。
[証]

nについての数学的帰納法により示す。
(i)n=1のとき:
(a+b)^n
=(a+b)^1
=1_C_0・a^(1-0)・b^0+1_C_1・a^(1-1)・b^1
=Σ[k=0,1](1_C_k・a^(1-k)・b^k)
=Σ[k=0,n](n_C_k・a^(n-k)・b^k)
となるので成り立つ。
(ii)n=m+1(m≧1)のとき:
n=mのとき成り立っていると仮定すると、
(a+b)^m=Σ[k=0,m](m_C_k・a^(m-k)・b^k)
となるので、
(a+b)^(m+1)
=(a+b)・(a+b)^m
=(a+b)・(Σ[k=0,m](m_C_k・a^(m-k)・b^k))
=a(m_C_0・a^(m-0)・b^0+Σ[k=1,m](m_C_k・a^(m-k)・b^k))+b(Σ[k=0,m-1](m_C_k・a^(m-k)・b^k)+m_C_m・a^(m-m)・b^m)
=a^(m+1)+Σ[k=1,m](m_C_k・a^(m+1-k)・b^k)+Σ[k=0,m-1](m_C_k・a^(m-k)・b^(k+1))+b^(m+1)
=a^(m+1)+Σ[k=1,m](m_C_k・a^(m+1-k)・b^k)+Σ[l=1,m](m_C_(l-1)・a^(m-(l-1))・b^((l-1)+1))+b^(m+1)
=a^(m+1)+Σ[k=1,m](m_C_k・a^(m+1-k)・b^k)+Σ[k=1,m](m_C_(k-1)・a^(m+1-k)・b^k)+b^(m+1)
=a^(m+1)+Σ[k=1,m]((m_C_k+m_C_(k-1))・a^(m+1-k)・b^k)+b^(m+1)
=(m+1)_C_0・a^(m+1-0)・b^0+Σ[k=1,m]((m+1)_C_k・a^(m+1-k)・b^k)+(m+1)_C_(m+1)・a^(m+1-(m+1))・b^(m+1)
=Σ[k=0,m+1]((m+1)_C_k・a^(m+1-k)・b^k)
となって、n=m+1のときも成り立つ。
よって(i),(ii)が成り立つので数学的帰納法より、

1以上の整数nについて、

(a+b)^n=Σ[k=0,n](n_C_k・a^(n-k)・b^k)
が成り立つ。■

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