中学数学／学研教育出版・牧野正博著 線分の長さの比 p.426 （121）

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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 線分の長さの比 p.426

（121）

［解］
点Aを通り、線分EFに平行な直線と半直線CBとの交点をGとおく。
するとPE//AGなので、三角形の線分の比の定理より
AP：PC＝GE：EC
＝（GB＋BE）：EC
となり、仮定よりBE＝3ECなので、
AP：PC＝（GB＋3EC）：EC・・・［1］
となる。一方仮定より四角形ABCDは長方形なので、
∠ABG＝∠FCE（＝90°）・・・［2］
AB＝DC・・・［3］
となり、AG//FEなので、平行線の性質より
∠AGB＝∠FEC（同位角）・・・［4］
となる。よって△AGBと△FECにおいて、［2］、［4］が成り立ち、
2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より△AGB∽△FECであり、
相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
EC：GB＝FC：AB・・・［5］
となる。よって仮定よりDF＝FCなので、［3］より
AB＝DC＝2FC
となり、［5］より
EC：GB＝FC：2FC＝1：2
GB＝2EC
となるから［1］より
AP：PC＝（2EC＋3EC）：EC
＝5EC：EC
＝5：1
となる。
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理と線分の長さ p.424 （練習119）

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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理と線分の長さ p.424

（練習119）

［解］
（1）
DE//BCなので、
AD：AB＝DE：BC
4：（4＋x）＝8：12＝2：3
2（4＋x）＝4・3
4＋x＝2・3
x＝6ー4
＝2（cm）
また、
AD：DB＝AE：EC
4：2＝y：3
2：1＝y：3
y＝6（cm）

（2）
DE//BCなので、
AD：AB＝AE：AC
12：18＝AE：AC
AE：AC＝2：3・・・［1］
またFE//DCより
AF：AD＝AE：AC
AF：12＝AE：AC・・・［2］
よって［1］、［2］より
AF：12＝2：3
3・AF＝12・2
AF＝4・2
＝8（cm）
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理と線分の長さ p.424 （119）

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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理と線分の長さ p.424

（119）

［解］
（1）
DE//BCなので、
AD：AB＝DE：BC
6：（6＋3）＝x：12
6：9＝x：12
9x＝6・12
x＝8（cm）

（2）
DE//BCなので、
AD：AB＝AE：AC
6：16＝9：（9＋x）
6（9＋x）＝16・9
9＋x＝8・3
x＝24ー9
＝15（cm）
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定理4の補足

（補足）
定理4よりAD：AB＝AE：ACならばDE//BCであり、
定理3＋よりDE//BCならばAD：AB＝AE：AC＝DE：BCなので、
AD：AB＝AE：ACならばAD：AB＝AE：AC＝DE：BCが成り立つ。

新体系・中学数学の教科書（下）（芳沢先生の教科書） p.92 （定理4）

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新体系・中学数学の教科書（下）（芳沢先生の教科書） p.92

（定理4）

［証］
仮定よりAD：AB＝AE：ACなので、定理5より
AD：DB＝AE：EC・・・［1］
となるので、点Dを通って線分BCと平行な直線を引くと、この直線は3点A、B、Cのいずれも通らず、線分ABと交わり、線分BCと交わらないので、幾何のおもしろさの公理2より線分ACと交わる。よってこの交点をFとおくと、DF//BCなので、定理3より
AD：AB＝AF：ACとなり、再び定理5より
AD：DB＝AF：FC・・・［2］
となるので、［1］、［2］より
AE：EC＝AF：FC
となる。よって2点E、Fはともに線分AC上の点なので、E＝Fとなり、
DF//BCよりDE//BCとなる。■
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幾何のおもしろさ p.5 （公理2）

芳沢先生の教科書 p.92の定理4の証明の為に、幾何のおもしろさに記載されている公理2を定める。

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幾何のおもしろさ p.5

（公理2）
直線lが3点A、B、Cのいずれも通らないとき、lは3つの線分AB、AC、BC
のいずれとも交わらないか、またはそのうち2つと交わって他の1つと交わらない。

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新体系・中学数学の教科書（下）（芳沢先生の教科書） p.91 （定理3＋）

下記は定理3を拡張したもので、DE//BCのとき、
AD：AB＝AE：AC
だけではなく、
AD：AB＝AE：AC＝DE：BC
も言えることを示したものである。
（但し証明に定理3、5を使っているので、事前にこれらを証明しておかなければならない。）
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新体系・中学数学の教科書（下）（芳沢先生の教科書） p.91

（定理3＋）

［証］
仮定よりDE//BCなので、定理3より
AD：AB＝AE：AC・・・［1］
となるので、点Eを通って辺ABに平行な直線と辺BCとの交点をFとおくと、
EF//ABとなるので、再び定理3よりEC：AC＝FC：BCとなる。
よって定理5よりAC：AE＝BC：BFとなり、DE//BC、EF//ABより
四角形DBFEは平行四辺形であり、対辺が等しいので、DE＝BFとなるから、
AC：AE＝BC：DEとなる。よって
AC/AE＝BC/DE（∵AE≠0、DE≠0）
AE/AC＝DE/BC（∵AC≠0、BC≠0）
AE：AC＝DE：BC
となるので、［1］より
AD：AB＝AE：AC＝DE：BC
となる。■
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