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MathTriangleの雑記帳

主に数学について書いていくブログです。数学の他にパズル、謎解き、音楽にも興味があります。

新体系・中学数学の教科書(下)(芳沢先生の教科書) p.91 (定理3+)

下記は定理3を拡張したもので、DE//BCのとき、
AD:AB=AE:AC
だけではなく、
AD:AB=AE:AC=DE:BC
も言えることを示したものである。
(但し証明に定理3、5を使っているので、事前にこれらを証明しておかなければならない。)
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新体系・中学数学の教科書(下)(芳沢先生の教科書) p.91

(定理3+)
f:id:MathTriangle:20170527101830j:image

[証]
仮定よりDE//BCなので、定理3より
AD:AB=AE:AC・・・[1]
となるので、点Eを通って辺ABに平行な直線と辺BCとの交点をFとおくと、
EF//ABとなるので、再び定理3よりEC:AC=FC:BCとなる。
よって定理5よりAC:AE=BC:BFとなり、DE//BC、EF//ABより
四角形DBFEは平行四辺形であり、対辺が等しいので、DE=BFとなるから、
AC:AE=BC:DEとなる。よって
AC/AE=BC/DE(∵AE≠0、DE≠0)
AE/AC=DE/BC(∵AC≠0、BC≠0)
AE:AC=DE:BC
となるので、[1]より
AD:AB=AE:AC=DE:BC
となる。■
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