過去のtwitterのつぶやきより引用。
写像の定義より、以下の命題が導かれる。
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(命題1:写像)
写像f:A→B,g:B→C,h:C→Dにおいて、
h・(g・f)＝(h・g)・f
が成り立つ。
[証]
写像f:A→B,g:B→C,h:C→Dとすると、
f:A→B,g:B→Cなので、(定義7:合成写像)より
g・f:A→C
となり、h:C→Dなので、(定義7:合成写像)より
h・(g・f):A→D・・・①
となる。一方g:B→C,h:C→Dなので、(定義7:合成写像)より
h・g:B→D
となり、f:A→Bなので、(定義7:合成写像)より
(h・g)・f:A→D・・・②
となる。よって①,②より
合成写像h・(g・f),(h・g)・fの定義域、終域はそれぞれ一致する。・・・③
また∀a∈Aとすると、(定義7:合成写像)より
(h・(g・f))(a)=h((g・f)(a))=h(g(f(a)))
((h・g)・f)(a)=(h・g)(f(a))=h(g(f(a)))
となるので、
∀a∈A;(h・(g・f))(a)=((h・g)・f)(a)・・・④
が成り立つ。よって③,④が成り立つので、(定義2:写像の相等)より
h・(g・f)＝(h・g)・f
が成り立つ。■
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(命題2:写像)
写像f:A→Bとすると、
f・1_A＝f＝1_B・f
が成り立つ。
[証]
1_A:A→A,1_B:B→B
となるので、(定義7:合成写像)より、
f・1_A:A→B
1_B・f:A→B
となる。よって
合成写像f・1_A,1_B・fの定義域、終域はそれぞれ一致する。・・・①
また∀a∈Aとすると、(定義7:合成写像)及び(定義6:恒等写像)より
f・1_A(a)=f(1_A(a))=f(a)
1_B・f(a)=1_B(f(a))=f(a)
となるので、
∀a∈A;f・1_A(a)=1_B・f(a)・・・②
が成り立つ。よって①,②が成り立つので、(定義2:写像の相等)より
f・1_A＝1_B・f
が成り立つ。■
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(命題3:写像)
写像f:A→B,g:B→Cが単射ならば合成写像g・f:A→Cも単射である。
[証]
写像f,gが単射なので、a,a'∈Aとすると、(定義4:単射)及び(定義7:合成写像)より
g・f(a)＝g・f(a')⇔g(f(a))＝g(f(a'))⇒f(a)＝f(a')⇒a＝a'
となる。よって(定義4:単射)より合成写像g・fも単射である。■
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