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MathTriangleの雑記帳

主に数学について書いていくブログです。数学の他にパズル、謎解き、音楽にも興味があります。

写像の命題

過去のtwitterのつぶやきより引用。

写像の定義より、以下の命題が導かれる。

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(命題1:写像)

写像f:A→B,g:B→C,h:C→Dにおいて、
h・(g・f)=(h・g)・f
が成り立つ。

[証]

写像f:A→B,g:B→C,h:C→Dとすると、

f:A→B,g:B→Cなので、(定義7:合成写像)より

g・f:A→C

となり、h:C→Dなので、(定義7:合成写像)より

h・(g・f):A→D・・・①

となる。一方g:B→C,h:C→Dなので、(定義7:合成写像)より

h・g:B→D

となり、f:A→Bなので、(定義7:合成写像)より

(h・g)・f:A→D・・・②

となる。よって①,②より

合成写像h・(g・f),(h・g)・fの定義域、終域はそれぞれ一致する。・・・③

また∀a∈Aとすると、(定義7:合成写像)より

(h・(g・f))(a)=h((g・f)(a))=h(g(f(a)))

((h・g)・f)(a)=(h・g)(f(a))=h(g(f(a)))

となるので、

∀a∈A;(h・(g・f))(a)=((h・g)・f)(a)・・・④

が成り立つ。よって③,④が成り立つので、(定義2:写像の相等)より

h・(g・f)=(h・g)・f
が成り立つ。■

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(命題2:写像)

写像f:A→Bとすると、
f・1_A=f=1_B・f
が成り立つ。

[証]

写像f:A→Bとすると、(定義6:恒等写像)より

1_A:A→A,1_B:B→B

となるので、(定義7:合成写像)より、

f・1_A:A→B

1_B・f:A→B

となる。よって

合成写像f・1_A,1_B・fの定義域、終域はそれぞれ一致する。・・・①

また∀a∈Aとすると、(定義7:合成写像)及び(定義6:恒等写像)より

f・1_A(a)=f(1_A(a))=f(a)

1_B・f(a)=1_B(f(a))=f(a)

となるので、

∀a∈A;f・1_A(a)=1_B・f(a)・・・②

が成り立つ。よって①,②が成り立つので、(定義2:写像の相等)より

f・1_A=1_B・f
が成り立つ。■

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(命題3:写像)

写像f:A→B,g:B→Cが単射ならば合成写像g・f:A→Cも単射である。
[証]

写像f,gが単射なので、a,a'∈Aとすると、(定義4:単射)及び(定義7:合成写像)より

g・f(a)=g・f(a')⇔g(f(a))=g(f(a'))⇒f(a)=f(a')⇒a=a'

となる。よって(定義4:単射)より合成写像g・fも単射である。■

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