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MathTriangleの雑記帳

主に数学について書いていくブログです。数学の他にパズル、謎解き、音楽にも興味があります。

写像の定義

写像を以下のように定義する。

(集合については、集合の定義及び命題 - MathTriangleの雑記帳を参照。)

(集合と同じく写像も数学の土台と言えるものなので、ここでしっかりおさえておきたい。)

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(定義1:写像)

集合Xの各要素に対し、集合Yの要素が唯1つ対応するとき、この対応fをXからYへの写像といい、これをf:X→Yと表す。

また写像に関連する次の(1)~(4)を定める。

(1)写像f:X→Yにおいて、Xをfの定義域、Yをfの終域という。

fの定義域をdom(f)と表すこともある。

(2)写像f:X→Yによって、x∈Xが、y∈Yに対応するとき、

これをf(x)=yと表す。このときyをxのfによる像または値という。

(3)写像f:X→Y、U⊂Xにおいて、

f(U):={y∈Y|∃x∈U;f(x)=y}

で定義される集合f(U)をfによるUの像という。

特にU=Xのとき、f(X)をfの像または値域という。

f(X)はImage(f)と表すこともある。

ここでf(U)⊂Yは明らかである。

(4)写像f:X→Y、V⊂Yにおいて、

f^(-1)(V):={x∈X|y∈V,f(x)=y}

で定義される集合f^(-1)(V)をfによるVの原像または逆像という。

ここでf^(-1)(V)⊂Xは明らかである。

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(定義2:写像の相等)

写像f:X→Y,写像g:A→Bにおいて、

X=A,Y=B,∀x∈X;f(x)=g(x)

が成り立つとき、fとgは等しいといい、

これをf=gと表す。

(※X=A,Y=Bは集合として等しい事を表し、これが成り立たないと、

f(x)=g(x)であっても、f=gとは言えないので注意する事。)

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(定義3:全射)

写像f:X→Yにおいて、

∀y∈Y,∃x∈X;f(x)=y

が成り立つとき、fは全射であるという。

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(定義4:単射)

写像f:X→Yにおいて、

x,x'∈X,f(x)=f(x')⇒x=x'
が成り立つとき、fは単射であるという。

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(定義5:全単射)

写像fが、全射かつ単射であるとき、
fは全単射であるという。

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(定義6:恒等写像)

f(x)=x,x∈X

と定義される写像f:X→XをXの恒等写像といい、これを

1_Xまたはid_X表す。

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(定義7:合成写像)

写像f:X→Y,写像g:Y→Zにおいて、

(g・f)(x):=g(f(x)),x∈X

で定義される写像g・f:X→Zをfとgの合成写像という。

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