写像を以下のように定義する。
(集合については、集合の定義及び命題 - MathTriangleの雑記帳を参照。)
(集合と同じく写像も数学の土台と言えるものなので、ここでしっかりおさえておきたい。)
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(定義1:写像)
集合Xの各要素に対し、集合Yの要素が唯1つ対応するとき、この対応fをXからYへの写像といい、これをf:X→Yと表す。
また写像に関連する次の(1)～(4)を定める。
(1)写像f:X→Yにおいて、Xをfの定義域、Yをfの終域という。
fの定義域をdom(f)と表すこともある。
(2)写像f:X→Yによって、x∈Xが、y∈Yに対応するとき、
これをf(x)=yと表す。このときyをxのfによる像または値という。
(3)写像f:X→Y、U⊂Xにおいて、
f(U):={y∈Y|∃x∈U;f(x)=y}
で定義される集合f(U)をfによるUの像という。
特にU=Xのとき、f(X)をfの像または値域という。
f(X)はImage(f)と表すこともある。
ここでf(U)⊂Yは明らかである。
(4)写像f:X→Y、V⊂Yにおいて、
f^(-1)(V):={x∈X|y∈V,f(x)=y}
で定義される集合f^(-1)(V)をfによるVの原像または逆像という。
ここでf^(-1)(V)⊂Xは明らかである。
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(定義2:写像の相等)
X=A,Y=B,∀x∈X;f(x)=g(x)
が成り立つとき、fとgは等しいといい、
これをf=gと表す。
(※X=A,Y=Bは集合として等しい事を表し、これが成り立たないと、
f(x)=g(x)であっても、f=gとは言えないので注意する事。)
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(定義3:全射)
写像f:X→Yにおいて、
∀y∈Y,∃x∈X;f(x)=y
が成り立つとき、fは全射であるという。
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(定義4:単射)
写像f:X→Yにおいて、
x,x'∈X,f(x)＝f(x')⇒x＝x'
が成り立つとき、fは単射であるという。
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(定義5:全単射)
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(定義6:恒等写像)
f(x)=x,x∈X
1_Xまたはid_X表す。
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(定義7:合成写像)
(g・f)(x):=g(f(x)),x∈X
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