下記の証明は、仮定のAC＝ADを用いていないことに注意。
（つまりこれがなくても△ACD∽△AEFが成り立つということ）
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 円と相似 p.420
（練習115）
［証］
2点A、Bを結ぶ。すると、
弧ABに対する円周角より∠ACB＝∠ADB・・・［1］
弧DBに対する円周角より∠BCD＝∠BAD・・・［2］
弧AFに対する円周角より∠ABF＝∠AEF・・・［3］
となり、△ADBの内角と外角の関係より∠ADB＋∠BAD＝∠ABF・・・［4］
となるので、［1］〜［4］より
∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝∠AEF・・・［5］
となる。また弧CDに対する円周角より
∠CAD＝∠CBD・・・［6］
弧EFに対する円周角より∠EBF＝∠EAF・・・［7］
となり、∠CBDと∠EBFは対頂角の関係にあって、
∠CBD＝∠EBF・・・［8］
となるので、［6］〜［8］より
∠CAD＝∠EAF・・・［9］
となる。よって△ACDと△AEFにおいて、［5］、［9］が成り立ち、
2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より△ACD∽△AEFである。■
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 円と相似 p.420
（115）
［解］
（1）
∠ACDと∠ABD、∠BCAと∠ADPはそれぞれ弧AD、ABに対する
円周角なので円周角の定理より
∠ACD＝∠ABD
∠BCA＝∠ADP
となり、仮定より∠ABD＝∠BCAなので、
∠ACD＝∠ADP・・・［1］
となる。よって、
∠CAD＝∠DAP（共通）・・・［2］
であり、△ACDと△ADPにおいて［1］、［2］が成り立ち、
2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より△ACD∽△ADPである。■
（2）
仮定よりAP＝6（cm）、PC＝7（cm）なので、
AC＝AP＋PC＝6＋7＝13（cm）
となり、（1）より△ACD∽△ADPであって、
相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
AC：AD＝AD：AP
となる。よって比例式の外項の積と内項の積は等しいので、
（AD）＾2＝AC・AP
＝13×6
＝78
となり、AD＞0なので、
AD＝√78（cm）となる。
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形の相似条件を利用した証明（3） p.419
（練習114）
［解］
（1）
∠BAC＝∠DAB（共通）・・・［1］
であり、仮定より
∠ABC＝2∠BCA、∠DBA＝∠DBC
なので、
（∠DBA＋∠DBC）＝2∠BCA
2∠DBA＝2∠BCA
∠BCA＝∠DBA・・・［2］
となる。よって△ABCと△ADBにおいて、［1］、［2］が成り立ち、
2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より
△ABC∽△ADBである。■
（2）
（1）より△ABC∽△ADBなので、
AC：AB＝BC：BD・・・［1］
AC：AB＝AB：AD・・・［2］
∠DCB＝∠ABD・・・［3］
となり、AB＝6（cm）、AC＝8（cm）なので、［2］より
AD・AC＝AB・AB
AD＝（AB・AB）/AC
＝（6×6）/8＝9/2＝4.5
となる。よってDC＝ACーAD＝8ー4.5＝3.5（cm）
となり、一方仮定より
∠ABD＝∠DBC
なので、［3］より
∠DCB＝∠DBC
となって、△DBCはBD＝DC＝3.5の二等辺三角形であるから［1］より
BC・AB＝AC・BD
BC＝（AC・BD）/AB
＝（8×3.5）/6＝14/3（cm）
となる。
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形の相似条件を利用した証明（2） p.418
（練習113）
［解］
（1）
仮定より△ABD∽△ACEであり、
相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
AB：AC＝AD：AE
となるから、答えは「AE」である。
（2）
仮定より△ABD∽△ACEであり、
相似な図形の対応する辺の比はすべて等しく、対応する角の大きさは相等しいので、
∠BAD＝∠CAE・・・［1］
AB：AC＝AD：AE・・・［2］
となるから、［1］より
∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC＝∠DAE・・・［3］
となり、比例式の外項の積と内項の積は等しいので、［2］より
AB・AE＝AC・AD
AB・AE＝AD・AC
AB：AD＝AC：AE・・・［4］
となる。よって、△ABCと△ADEにおいて、［3］、［4］が成り立ち、
2組の辺の比とその間の角が相等しいので、三角形の相似条件より、
△ABC∽△ADEである。■
（3）
（2）より△ABC∽△ADEであり、相似な図形の対応する角の大きさは等しいので、∠ABD＝∠ADEである。
よって△ABDの内角と外角の関係より
∠EDC＝∠BAD＋∠ABDー∠ADE＝∠BAD＝30°
となる。
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形の相似条件を利用した証明（2） p.418
（113）
［証］
仮定より
△ABCは、AB＝BC＝AC＝6（cm）の正三角形・・・［1］
△ADEは、AE＝DE＝AD＝4（cm）の正三角形・・・［2］
であるから、これを基に△ACD∽△BFEが示せれば、相似な図形の性質より
∠ACD＝∠BFE
が言える。その為には、
AC：BF＝AD：BE・・・［※1］
∠CAD＝∠FBE・・・［※2］
を示し、三角形の相似条件「2組の辺の比とその間の角が相等しい」が成り立つことを示せばよい。
実際［※1］については［1］、［2］より
BE＝ABーAE＝6ー4＝2（cm）なので、
AC：BF＝6：3＝2：1
AD：BE＝4：2＝2：1
となり、［※1］が成り立つ。また［※2］については、［1］、［2］より
∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝60°
であるから、
∠CAD＝∠BAC＋∠DAE＝60°＋60°＝120°
∠FBE＝∠FBCー∠ABC＝180°ー60°＝120°
となり、［※2］が成り立つ。よって∠ACD＝∠BFEである。■
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中学数学が苦手だったので、かなり前から中学数学を勉強し直しているが、
まだわからない事が多い（特に相似）。
参考書は、「中学数学／学研教育出版・牧野正博著」や芳沢先生の教科書を利用している。
以降備忘録として、自分の証明や解答を書いていきたいと思うが、
問題文や説明図を書かない事もあるので、
興味がある方は、上記の本を参照されたい。
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形の相似条件を利用した証明（1） p.417
（練習112）
［証］
△ABCと△DAEにおいて、
仮定よりDA＝AC＝12なので、
AB：DA＝18：12＝3：2・・・（1）
BC：AE＝15：10＝3：2・・・（2）
AC：DE＝12：8＝3：2・・・（3）
となり、3組の辺の比が相等しいので、三角形の相似条件より△ABC∽△DAE。
よって相似な図形の対応する角の大きさは相等しいので、∠ABC＝∠DAE
となり、錯覚が等しいので、平行線の性質よりEA//BCである。■
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