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MathTriangleの雑記帳

主に数学について書いていくブログです。数学の他にパズル、謎解き、音楽にも興味があります。

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の内角の二等分線の性質の証明 p.427 (122)

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の内角の二等分線の性質の証明 p.427

(122)
f:id:MathTriangle:20170527100349j:image

[証]
点Cを通り、線分ADに平行な直線と半直線BAとの交点をEとする。
すると、△BECにおいてAD//ECが成り立つので、
三角形と線分の比の定理より
AB:AE=BD:DC・・・[1]
が成り立つ。またAD//ECなので、平行線の性質より
∠BAD=∠AEC(同位角)・・・[2]
∠CAD=∠ACE(錯角)・・・[3]
となって、仮定より
∠BAD=∠CAD・・・[4]
なので、[2]〜[4]より
∠AEC=∠ACE
となり、△ACEの底角が等しく、
△ACEはAE=ACの二等辺三角形なので[1]より
AB:AC=BD:DC
が成り立つ。■

[別証1]
点Cを通り、線分ABに平行な直線と半直線ADとの交点をEとする。
すると、AB//CEなので平行線の錯角より
∠BAD=∠CED
∠ABD=∠ECD
となり、△ABDと△ECDにおいて
2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より△ABD∽△ECD
であり、相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
AB:EC=BD:DC・・・[1]
となる。一方AB//CEなので、
平行線の錯角より
∠BAD=∠CEA
となり、仮定より
∠BAD=∠CAE
なので、
CEA=∠CAE
となって、△CAEの底角が等しく、
△CAEはAC=ECの二等辺三角形なので[1]より
AB:AC=BD:DC
となる。■

[別証2]
2点C、Bから半直線ADに下ろした垂線の足をそれぞれE、Fとする。
すると、
∠BFA=∠CEA(=90°)
であり、仮定より
∠BAF=∠CAE
となって、△ABFと△ACEにおいて
2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より△ABF∽△ACE
であり、相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
AB:AC=BF:CE・・・[1]
となる。また△BFDと△CEDにおいて
∠BFD=∠CED(=90°)
∠BDF=∠CDE(対頂角)
が成り立ち、2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より△BFD∽△CED
であり、相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
BF:CE=BD:DC・・・[2]
となる。よって[1]、[2]より
AB:AC=BD:DC
となる。■
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