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MathTriangleの雑記帳

主に数学について書いていくブログです。数学の他にパズル、謎解き、音楽にも興味があります。

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の相似条件を利用した証明(3) p.419 (練習114)

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の相似条件を利用した証明(3) p.419

(練習114)
f:id:MathTriangle:20170527104102j:image

[解]
(1)
∠BAC=∠DAB(共通)・・・[1]
であり、仮定より
∠ABC=2∠BCA、∠DBA=∠DBC
なので、
(∠DBA+∠DBC)=2∠BCA
2∠DBA=2∠BCA
∠BCA=∠DBA・・・[2]
となる。よって△ABCと△ADBにおいて、[1]、[2]が成り立ち、
2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より
△ABC∽△ADBである。■

(2)
(1)より△ABC∽△ADBなので、
AC:AB=BC:BD・・・[1]
AC:AB=AB:AD・・・[2]
∠DCB=∠ABD・・・[3]
となり、AB=6(cm)、AC=8(cm)なので、[2]より
AD・AC=AB・AB
AD=(AB・AB)/AC
=(6×6)/8=9/2=4.5
となる。よってDC=ACーAD=8ー4.5=3.5(cm)
となり、一方仮定より
∠ABD=∠DBC
なので、[3]より
∠DCB=∠DBC
となって、△DBCはBD=DC=3.5の二等辺三角形であるから[1]より
BC・AB=AC・BD
BC=(AC・BD)/AB
=(8×3.5)/6=14/3(cm)
となる。

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