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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形の相似条件を利用した証明（3） p.419
（練習114）
［解］
（1）
∠BAC＝∠DAB（共通）・・・［1］
であり、仮定より
∠ABC＝2∠BCA、∠DBA＝∠DBC
なので、
（∠DBA＋∠DBC）＝2∠BCA
2∠DBA＝2∠BCA
∠BCA＝∠DBA・・・［2］
となる。よって△ABCと△ADBにおいて、［1］、［2］が成り立ち、
2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より
△ABC∽△ADBである。■
（2）
（1）より△ABC∽△ADBなので、
AC：AB＝BC：BD・・・［1］
AC：AB＝AB：AD・・・［2］
∠DCB＝∠ABD・・・［3］
となり、AB＝6（cm）、AC＝8（cm）なので、［2］より
AD・AC＝AB・AB
AD＝（AB・AB）/AC
＝（6×6）/8＝9/2＝4.5
となる。よってDC＝ACーAD＝8ー4.5＝3.5（cm）
となり、一方仮定より
∠ABD＝∠DBC
なので、［3］より
∠DCB＝∠DBC
となって、△DBCはBD＝DC＝3.5の二等辺三角形であるから［1］より
BC・AB＝AC・BD
BC＝（AC・BD）/AB
＝（8×3.5）/6＝14/3（cm）
となる。
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