MathTriangleの雑記帳

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 相似な三角形の面積の比の利用 p.435 (練習130)

(2)は解けなかったので参考書の解説を読んだ。
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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 相似な三角形の面積の比の利用 p.435
(練習130)

f:id:MathTriangle:20170618043219j:image

[解]
(1)
2点OとP及びAとQをそれぞれ結ぶ。
すると∠AQCは半円O’の直径に対する円周角なので∠AQC=90°であり、
点Pは半円Oと直線QCとの接点なので∠OPC=90°である。よって△OCPと△ACQにおいて、
∠OPC=∠AQC
∠OCP=∠ACQ(共通)
が成り立ち、2組の角が相等しいので三角形の相似条件より△OCP∽△ACQである。■

 

(2)
線分ABは半円Oの直径なので半径OAの長さはAB/2であり、仮定よりAB=4(cm)なので、
OA=AB/2=4/2=2(cm)である。よって仮定よりAC=7(cm)であり(1)より
△OCP∽△ACQなのでその相似比は、
OC:AC=(ACーOA):AC
=(7ー2):7
=5:7
であって、面積比は相似比の2乗に等しいので、
△OCP:△ACQ=(OC)^2:(AC)^2
=5^2:7^2
=25:49
△ACQ=(49/25)△OCP
である。一方△ABPと△OCPにおいて、底辺をそれぞれAB、OCとみなすと、この2つの三角形の高さは等しいので、その面積比は底辺の比に等しく
△ABP:△OCP=AB:OC=4:5
△ABP=(4/5)△OCP
となる。よって
△ABP:△ACQ=((4/5)△OCP):((49/25)△OCP)
=(4/5):(49/25)
=20:49
である。
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