ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
中学数学／学研教育出版・牧野正博著 相似な図形の周の長さと面積の比 p.434
（練習129）
［解］
（1）
仮定より∠COF＝108°なので、∠EOB＝∠AOBー∠COF＝180°ー108°＝72°
となるから、2つのおうぎ形OEB、OCFの中心角はそれぞれ72°、108°である。
よって仮定よりCA＝AOであり、線分AO、OBは共に半円Oの半径でAO＝OBであるから
OC：OB＝（CA＋AO）：OB
＝2AO：OB
＝2OB：OB
＝2：1
となる。よって2つのおうぎ形OEB、OCFの弧の長さは半径と中心角の大きさに比例するので、
弧CF：弧EB＝（108×2）：（72×1）
＝（3×2）：（2×1）
＝3：1
である。
（2）
2つのおうぎ形OAEとOEBのそれぞれの半径は共に内側の半円の半径であるから等しく、
（1）の議論よりおうぎ形OCF、OEBの中心角はそれぞれ108°、72°であり、
半径が等しいおうぎ形の面積比は、中心角に比例するので、
おうぎ形OAE：おうぎ形OEB＝108：72＝3：2
おうぎ形OAE＝（3/2）×おうぎ形OEB・・・［1］
である。一方仮定よりOA＝ACなので、
OA：OC＝OA：（OA＋AC）
＝OA：2OA
＝1：2
となり、2つのおうぎ形OAE、OCFは相似で、その相似比は半径の比に等しく、
面積比はその2乗に等しいので、
おうぎ形OAE：おうぎ形OCF＝（OA）＾2：（OC）＾2＝1＾2：2＾2＝1：4・・・［2］
となる。よって四角形ACFEの面積はおうぎ形OCFの面積から
おうぎ形OAEの面積を引いたものなので［2］より
四角形ACFE：おうぎ形OAE＝（4ー1）：1＝3：1
四角形ACFE＝3×おうぎ形OAE
となるから［1］より
四角形ACFE：おうぎ形OEB＝3×（（3/2）×おうぎ形OEB）：おうぎ形OEB
＝（9/2）：1
＝9：2
となる。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
