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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の重心の定理を利用した証明 p.431
(練習126)
[解]
(1)
仮定より四角形ABCDは平行四辺形であり、
平行四辺形の2つの対角線はそれぞれの中点で交わるので、
AO=OC・・・[1]
BD=2OD・・・[2]
となり、仮定より
DE=EC・・・[3]
なので、[1]、[3]より点Fは△DACの重心である。よって
OF:FD=1:2
OF=(1/(1+2))OD
OD=3OF・・・[4]
となり、[2]、[4]より
BD=2×3OF=6OF
となるので、
OF:BD=1:6
である。■
(2)
仮定より点Gは線分OCの中点なので、OG:OC=1:2となり、
高さが等しい三角形の面積の比は底辺の比に等しく、仮定より△OFG=4(㎠)なので、
△OFG:△OFC=OG:OC=1:2
△OFC=2△OFG=2×4=8(㎠)
となる。また(1)よりOF:BD=1:6であり、
高さが等しい三角形の面積の比は底辺の比に等しいので、
△OFC:△BDC=OF:BD=1:6
△BDC=6△OFC=6×8=48(㎠)
となり、仮定より四角形ABCDは平行四辺形なので、AD//BC、AB//DCであり、
△BAC=△BDC=48(㎠)
△CAD=△BDC=48(㎠)
となる。よって仮定より点Eは辺CDの中点なので、
CE:CD=1:2
となり、高さが等しい三角形の面積の比は底辺の比に等しいので、
△CAE:△CAD=CE:CD=1:2
△CAE=(1/2)△CAD=(1/2)×48=24(㎠)
となる。よって
四角形ABCE=△BAC+△CAE
=48+24
=72(㎠)
である。
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