MathTriangleの雑記帳

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の重心の定理を利用した証明 p.431 (練習126)

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の重心の定理を利用した証明 p.431
(練習126)

f:id:MathTriangle:20170617125435j:image

[解]

(1)

仮定より四角形ABCDは平行四辺形であり、

平行四辺形の2つの対角線はそれぞれの中点で交わるので、

AO=OC・・・[1]

BD=2OD・・・[2]

となり、仮定より

DE=EC・・・[3]

なので、[1]、[3]より点Fは△DACの重心である。よって

OF:FD=1:2

OF=(1/(1+2))OD

OD=3OF・・・[4]

となり、[2]、[4]より

BD=2×3OF=6OF

となるので、

OF:BD=1:6

である。■

 

(2)

仮定より点Gは線分OCの中点なので、OG:OC=1:2となり、

高さが等しい三角形の面積の比は底辺の比に等しく、仮定より△OFG=4(㎠)なので、

△OFG:△OFC=OG:OC=1:2

△OFC=2△OFG=2×4=8(㎠)

となる。また(1)よりOF:BD=1:6であり、

高さが等しい三角形の面積の比は底辺の比に等しいので、

△OFC:△BDC=OF:BD=1:6

△BDC=6△OFC=6×8=48(㎠)

となり、仮定より四角形ABCDは平行四辺形なので、AD//BC、AB//DCであり、

△BAC=△BDC=48(㎠)

△CAD=△BDC=48(㎠)

となる。よって仮定より点Eは辺CDの中点なので、

CE:CD=1:2

となり、高さが等しい三角形の面積の比は底辺の比に等しいので、

△CAE:△CAD=CE:CD=1:2

△CAE=(1/2)△CAD=(1/2)×48=24(㎠)

となる。よって

四角形ABCE=△BAC+△CAE

=48+24

=72(㎠)

である。
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