MathTriangleの雑記帳

主に数学について書いていくブログです。数学の他にパズル、謎解き、音楽にも興味があります。

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 (練習124)

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429

(練習124)

f:id:MathTriangle:20170529041413p:plain

 [証]

(1)
2点NとMを結ぶ。
すると仮定より2点N、Mはそれぞれ△CABの2辺AC、BCの中点なので、中点連結定理より
NM//AB・・・[1]
NM=(1/2)AB・・・[2]
となる。よって仮定よりEF=(1/2)ABなので[2]より
EF=NM・・・[3]
となり、[1]よりEF//NMとなるので、平行線の錯角より
∠PEF=∠PMN・・・[4]
∠PFE=∠PNM・・・[5]
となる。よって△PEFと△PMNにおいて[3]、[4]、[5]が成り立ち、
1辺とその両端の角が相等しいので、三角形の合同条件より△PEF≡△PMNとなり、
合同な図形の対応する辺の長さは等しいので、FP=PNとなるから点PはFNの中点である。■

 

(2)
2点NとM、2点EとNをそれぞれ結ぶ。
すると仮定よりCN=NA、△ABC=2aなので、辺ACを底辺とした△ABCの高さをhとすると、
△ABC=2a
(1/2)hAC=2a
(1/2)h(CN+NA)=2a
(1/2)hCN+(1/2)hCN=2a
2△CBN=2a
△CBN=a
△BMN+△CMN=a・・・[1]
となり、一方仮定より2点M、Nはそれぞれ△CBAの辺BC、ACの中点なので、
中点連結定理よりBA//MNとなって、
△BMN=△EMN=△EPN+△PMN・・・[2]
となる。ここで(1)よりFP=PNなので、△EFP=△EPNとなるから、[1]、[2]より
△BMN+△CMN=a
(△EPN+△PMN)+△CMN=a
△EFP+四角形PMCN=a
となる。■

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