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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429
（124の参考1）
124の問題でAC⊥BDならば四角形PQRSは長方形である。
［証］
2点AとC、2点BとDを結び、
線分ACと辺PSとの交点をT、線分BDと辺PQとの交点をU、
線分ACと辺QRとの交点をV、線分BDと辺SRとの交点をW、
線分ACとBDとの交点をXとする。すると4点P、Q、R、Sはそれぞれ四角形ABCDの
4辺AB、BC、DC、ADの中点なので、中点連結定理よりPS//BD、PQ//AC、SR//ACとなるので、
PT//UX、TS//XW、PU//TX、SW//TXとなり、平行四辺形の定義より
四角形PUXT、TXWSは平行四辺形である。
よって平行四辺形の対角は等しいので、∠UPT＝∠UXT、∠WST＝∠WXTとなり、
仮定よりAC⊥BDなので、
∠UPT＝∠UXT＝∠AXB＝90°
∠WST＝∠WXT＝∠AXD＝90°
となって、124より四角形PQRSは平行四辺形であって、
平行四辺形の対角は等しいので、
∠QPS＝∠UPT＝90°
∠QRS＝∠QPS＝90°
∠RSP＝∠WST＝90°
∠RQP＝∠RSP＝90°
となる。よって四角形PQRSの4つの角がすべて等しいので、
長方形の定義より四角形PQRSは長方形である。■
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