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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429
（124）
［証］
2点AとC、2点BとDを結ぶ。
すると仮定より2点S、Rはそれぞれ△DACにおいて辺DA、DCの中点なので、中点連結定理より
SR//AC・・・［1］
となり、同様にして仮定より2点P、Qがそれぞれ△BCAの辺BA、BCの中点、
2点P、Sがそれぞれ△ABDの辺AB、ADの中点、
2点R、Qがそれぞれ△CDBの辺CD、BCの中点なので、再び中点連結定理より
PQ//AC・・・［2］
PS//BD・・・［3］
QR//BD・・・［4］
となる。よって［1］、［2］よりPQ//SR、［3］、［4］よりPS//QRとなるので、
平行四辺形の定義より四角形PQRSは平行四辺形である。■
［別証］（参考書のやり方）
2点BとDを結ぶ。
すると△ABDにおいて、仮定より2点P、Sはそれぞれ辺AB、ADの中点なので、中点連結定理より
PS//BD・・・［1］
PS＝（1/2）BD・・・［2］
となり、同様に△CBDにおいて、2点Q、Rはそれぞれ辺BC、DCの中点なので、再び中点連結定理より
QR//BD・・・［3］
QR＝（1/2）BD・・・［4］
となる。よって［1］、［3］よりPS//QR、［2］、［4］よりPS＝QR
となって、四角形PQRSにおいて、1組の対辺が平行で、その長さが等しいので、
平行四辺形の性質より四角形PQRSは平行四辺形である。■
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