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MathTriangleの雑記帳

主に数学について書いていくブログです。数学の他にパズル、謎解き、音楽にも興味があります。

比例式の性質

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a:b=α:β(a>0、b>0、α>0、β>0)
ならば、
(ⅰ) a=(α/(α+β))(a+b)
(ⅱ) b=(β/(α+β))(a+b)
(ⅲ) α=(a/(a+b))(α+β)
(ⅳ) β=(b/(a+b))(α+β)
が成り立ち、またその逆も成り立つ。

[証]
a>0、b>0、α>0、β>0よりa+b>0、α+β>0となるので、a+b≠0、α+β≠0である。
(ⅰ)について:
a:b=α:β
⇔aβ=bα
⇔aα+aβ=αa+αb
⇔a(α+β)=α(a+b)
⇔a=(α/(α+β))(a+b)(∵α+β≠0)
(ⅱ)について:
a:b=α:β
⇔bα=βa
⇔bα+bβ=βa+βb
⇔b(α+β)=β(a+b)
⇔b=(β/(α+β))(a+b)(∵α+β≠0)
(ⅲ)について:
a:b=α:β
⇔αb=aβ
⇔αa+αb=aα+aβ
⇔α(a+b)=a(α+β)
⇔α=(a/(a+b))(α+β)(∵a+b≠0)
(ⅳ)について:
a:b=α:β
⇔βa=bα
⇔βa+βb=bα+bβ
⇔β(a+b)=b(α+β)
⇔β=(b/(a+b))(α+β)(∵a+b≠0)■
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