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MathTriangleの雑記帳

主に数学について書いていくブログです。数学の他にパズル、謎解き、音楽にも興味があります。

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 線分の長さの比 p.426 (練習121)

この問題は考えても解けなかったので、解説を読んで再チャレンジした(くやしい)。
ポイントは何を基準にKH、GBを求めるか、
またその基準はどうやったら求められるかということだと思う。
(この問題の場合は、BIが基準となる)
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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 線分の長さの比 p.426

(練習121)
f:id:MathTriangle:20170527100621j:image

[解]
半直線ADと半直線BGとの交点をIとする。
すると仮定より
FC=2BF・・・[1]
DG:GC=1:2・・・[2]
AE=ED・・・[3]
四角形ABCDは平行四辺形・・・[4]
であり、[4]よりAD//BCとなって、DI//BC、EI//BC、AI//BF
となるので平行線の錯角より
∠GDI=∠GCB・・・[5]
GID=∠GBC・・・[6]
∠KEI=∠KCB・・・[7]
∠KIE=∠KBC・・・[8]
∠HAI=∠HFB・・・[9]
HIA=∠HBF・・・[10]
となる。よって[5]と[6]、[9]と[10]より
△GDIと△GCB、△HAIと△HFBにおいて
それぞれ2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より
△GDI∽△GCB、△HAI∽△HFB
となり、相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
GI:GB=DI:BC=DG:GC・・・[11]
HI:HB=AI:BF・・・[12]
となる。よって[2]、[11]より
GB=2GI・・・[13]
BC=2DI・・・[14]
となって、[13]より
BI=GB+GI
=2GI+GI
=3GI・・・[15]
となるので、[13]、[15]より
GB/BI=(2GI)/(3GI)=2/3
GB=(2/3)BI・・・[16]
となる。一方[4]よりAD=BCとなり、[3]、[14]より
AD=BC=2DI
(AE+ED)=2DI
2ED=2DI
ED=DI
AE=ED=DI・・・[17]
AI=AE+ED+DI=3DI・・・[18]
となって、[1]より
BC=BF+FC
=BF+2BF
=3BF・・・[19]
となるので、[14]、[19]より
2DI=3BF
DI=(3/2)BF・・・[20]
となるから、[18]、[20]より
AI=3((3/2)BF)=(9/2)BF・・・[21]
となる。よって[12]、[21]より
HI/HB=AI/BF=((9/2)BF)/BF=9/2
HI=(9/2)HB
となるので、
HB/BI=HB/(HB+HI)
=HB/(HB+(9/2)HB)
=HB/((1+(9/2))HB)
=1/(11/2)
=2/11
HB=(2/11)BI・・・[22]
となる。また[14]、[17]より
EI=ED+DI=2DI=BC・・・[23]
となり、△KEIと△KCBにおいて[7]、[8]、[23]が成り立ち、
一辺とその両端の角が相等しいので、
三角形の合同条件より△KEI≡△KCB
となり、合同な図形の対応する辺の長さは等しいので、
KB=KIとなるから、
KB/BI=KB/(KB+KI)=KB/(2KB)=1/2
KB=(1/2)BI・・・[24]
となる。よって[22]、[24]より
KH=KBーHB
=(1/2)BIー(2/11)BI
=(7/22)BI・・・[25]
となるので、[16]、[25]より
KH/GB=((7/22)BI)/((2/3)BI)
=(7/22)/(2/3)
=(7/22)×(3/2)
=21/44
となる。
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