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MathTriangleの雑記帳

主に数学について書いていくブログです。数学の他にパズル、謎解き、音楽にも興味があります。

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 線分の長さの比 p.426 (121)

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 線分の長さの比 p.426

(121)
f:id:MathTriangle:20170527100808j:image

[解]
点Aを通り、線分EFに平行な直線と半直線CBとの交点をGとおく。
するとPE//AGなので、三角形の線分の比の定理より
AP:PC=GE:EC
=(GB+BE):EC
となり、仮定よりBE=3ECなので、
AP:PC=(GB+3EC):EC・・・[1]
となる。一方仮定より四角形ABCDは長方形なので、
∠ABG=∠FCE(=90°)・・・[2]
AB=DC・・・[3]
となり、AG//FEなので、平行線の性質より
∠AGB=∠FEC(同位角)・・・[4]
となる。よって△AGBと△FECにおいて、[2]、[4]が成り立ち、
2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より△AGB∽△FECであり、
相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
EC:GB=FC:AB・・・[5]
となる。よって仮定よりDF=FCなので、[3]より
AB=DC=2FC
となり、[5]より
EC:GB=FC:2FC=1:2
GB=2EC
となるから[1]より
AP:PC=(2EC+3EC):EC
=5EC:EC
=5:1
となる。
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