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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 方べきの定理（1） p.421
（116）
［証］
（1）
∠APC＝∠DPB（対頂角）・・・［1］
∠CAP＝∠BDP（弧CBに対する円周角）・・・［2］
△APCと△DPBにおいて［1］、［2］が成り立ち、2組の角が相等しいので、
三角形の相似条件より△APC∽△DPBである。
よって相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
PA：PD＝PC：PB
となり、比例式の外項の積と内項の積は等しいので、
PA×PB＝PC×PD
となる。■
（2）
AとCを結び、BとDを結ぶ。すると、
∠APC＝∠DPB（共通）・・・［1］
であり、四角形ACDBは内接四角形で∠ACPはその外角なので、内接四角形の性質より
∠ACP＝∠DBP・・・［2］
となる。よって△APCと△DPBにおいて［1］、［2］が成り立ち、
2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より△APC∽△DPBである。
よって相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
PA：PD＝PC：PB
となり、比例式の外項の積と内項の積は等しいので、
PA×PB＝PC×PD
となる。■
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