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MathTriangleの雑記帳

主に数学について書いていくブログです。数学の他にパズル、謎解き、音楽にも興味があります。

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 方べきの定理(1) p.421 (116)

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 方べきの定理(1) p.421

(116)
f:id:MathTriangle:20170527103504j:image

[証]
(1)
APC=∠DPB(対頂角)・・・[1]
∠CAP=∠BDP(弧CBに対する円周角)・・・[2]
APCと△DPBにおいて[1]、[2]が成り立ち、2組の角が相等しいので、
三角形の相似条件より△APC∽△DPBである。
よって相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
PA:PD=PC:PB
となり、比例式の外項の積と内項の積は等しいので、
PA×PB=PC×PD
となる。■

(2)
AとCを結び、BとDを結ぶ。すると、
APC=∠DPB(共通)・・・[1]
であり、四角形ACDBは内接四角形で∠ACPはその外角なので、内接四角形の性質より
∠ACP=∠DBP・・・[2]
となる。よって△APCと△DPBにおいて[1]、[2]が成り立ち、
2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より△APC∽△DPBである。
よって相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
PA:PD=PC:PB
となり、比例式の外項の積と内項の積は等しいので、
PA×PB=PC×PD
となる。■
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