絶対値、平方根を以下のように定義する。
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(定義1:絶対値)
aを実数としたとき、
(i) |a|:=a(a≧0のとき)
(ii)|a|:=-a(a<0のとき)
で定義される|a|をaの絶対値という。
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(定義2:平方根)
aを実数として、a≧0としたとき、
x^2=a
を満たす実数xをaの平方根といい、x>0のときxを√aで表し、x<0のときxを-√aで表す。
また0の平方根は0と定める。即ち√0:=0と定める。
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以上の定義と順序の定義、実数の基本性質(順序に関する記号・用語の定義、実数の基本性質及び命題 - MathTriangleの雑記帳を参照)より、以下の命題が導かれる。(一部過去のtwitterのつぶやきより引用)
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(命題1:絶対値)
aを実数としたとき、
|a|≧0
が成り立つ。
[証]
aを実数とすると、(定義1:順序)及び実数の基本性質(ii)よりa≧0またはa<0が成り立ち、a≧0とすると、(定義1:絶対値)より
|a|=a≧0
となり、a<0とすると(定義1:順序)及び(定義1:絶対値)より
|a|=-a>0
となる。よって|a|≧0または|a|>0が成り立つので、(定義1:順序)より
|a|≧0
が成り立つ。■
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(命題2:絶対値)
aを実数としたとき、
|a|^2=a^2
が成り立つ。
[証]
aを実数とすると、(定義1:順序)及び実数の基本性質(ii)よりa≧0またはa<0が成り立ち、a≧0ときは(定義1:絶対値)より
|a|^2=a^2
となり、a<0のときは(定義1:絶対値)より
|a|^2={(-a)}^2=a^2
となる。よっていずれにしても
|a|^2=a^2
が成り立つ。■
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(命題3:絶対値)
aを実数としたとき、
|a|=√(a^2)
が成り立つ。
[証]
aを実数とすると、(命題1:絶対値)より|a|≧0が成り立つので、(定義1:順序)より|a|=0または|a|>0のどちらかが成り立つ。もし|a|=0ならば、(定義1:絶対値)及び(定義2:平方根)より
|a|=a=0=√0=√(0^2)=√(a^2)
となり、|a|>0ならば、(命題2:絶対値)より|a|^2=a^2が成り立ち、a^2≧0は明らかであるから、(定義2:平方根)より
|a|=√(a^2)
が成り立つ。
よっていずれにしても|a|=√(a^2)が成り立つ。■
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(命題4:絶対値)
a,bを実数として a≧0,b≧0としたとき、
a^2=b^2⇒a=b
が成り立つ。
[証]
a,bを実数として a≧0,b≧0とすると、a≧0なので、(定義1:順序)よりa=0またはa>0のどちらか1つが成り立つ。a=0とするとa^2=0となるので、a^2=b^2ならば、
b^2=a^2=0
となって、b=0が成り立つ。よってa=0とするとa^2=b^2⇒a=bが成り立つ。
またa>0とすると、b^2≧0は明らかなので、a^2=b^2ならば、(定義2:平方根)よりa=√(b^2)となり、(命題3:絶対値)より√(b^2)=|b|となるので、a=|b|が成り立つ。またb≧0なので、(定義1:絶対値)よりa=bが成り立つ。よってa>0のときもa^2=b^2⇒a=bが成り立つ。よっていずれにしてもa^2=b^2⇒a=bが成り立つ。■
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