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MathTriangleの雑記帳

主に数学について書いていくブログです。数学の他にパズル、謎解き、音楽にも興味があります。

乗法の展開・因数分解公式

過去のtwitterのつぶやきより引用。

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(命題1:乗法の展開)

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

[証]

分配法則より

(a+b)^2=(a+b)(a+b)=(a+b)・a+(a+b)・b=(a^2+ab)+(ab+b^2)=a^2+2ab+b^2となる。■

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(命題2:乗法の展開)

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
[証]

(命題1:乗法の展開)より(a+b)^2=a^2+2ab+b^2なので、bを-bと置き換えると、

(a-b)^2=a^2+2a(-b)+(-b)^2=a^2-2ab+b^2となる。■

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(命題3:乗法の展開)

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
[証]

(命題2:乗法の展開)より(a+b)^2=a^2+2ab+b^2なので、分配法則より

(a+b)^3=(a+b)(a+b)^2=(a+b)(a^2+2ab+b^2)=(a+b)a^2+(a+b)(2ab)+(a+b)b^2
=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3となる。■

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(命題4:乗法の展開)

(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
[証]

(命題3:乗法の展開)より(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3なので、bを-bと置き換えると、(a-b)^3=a^3+3a^2(-b)+3a(-b)^2+(-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3となる。■

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(命題5:乗法の因数分解)

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

[証]

(命題4:乗法の展開)より(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3であり、右辺を-3abでくくって(a-b)^3=a^3-3ab(a-b)-b^3となり、右辺の-3ab(a-b)を左辺に移項し、(a-b)でくくると、
a^3-b^3=(a-b){(a-b)^2+3ab}=(a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab)=(a-b)(a^2+ab+b^2)となる。■

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(命題6:乗法の因数分解)

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
[証]

(命題5:乗法の因数分解)よりa^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)なので、bを-bに置き換えると、a^3-(-b)^3={a-(-b)}{a^2+a(-b)+(-b)^2}⇔a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)となる。■

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