集合について、以下のように定義する。
なお集合は数学の土台と言えるもので、これから頻繁に出てくるものなので、
ここでしっかりおさえておきたい。
(といっても特に難しいものではない。単純である事が如何に強力であるかの良い例。)
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(定義1:集合)
モノの集まりを集合といい、
集合を構成しているモノをその集合の要素または元という。
またaが集合Aの要素であることをa∈Aで表す。
(厳密に言うとこの定義だけでは、パラドックス(ラッセルのパラドックス)が起こる危険性があるが、ここでは単純に素朴集合論とする。(興味を持たれた方は、公理的集合論をチェック！))
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(定義2:集合)
集合は通常、次の２つの方法で定義される。
(i)要素を列挙する方法(外延的記法)：
{x_1,x_2,...,x_n}(有限集合)または{y_1,y_2,y_3,...}(無限集合、但し{1,2,3,...}のように要素が容易に推測できる場合に限る。)
(各要素をコンマ(,)で区切り、要素を中括弧({})で括る。)
(ii)要素が満たす条件を指定する方法(内包的記法)：
命題Pを満たす要素の集合を
{x|P(x)}
と定義し、
集合Aの要素であり、かつ命題Pを満たす要素の集合を
{x∈A|P(x)}
と定義する。
(例えば、x∈{x|P(x)}ならば、xは命題Pを満たし、
y∈{x∈A|P(x)}ならば、y∈Aであり、yは命題Pを満たす。)
(但しここで言う「命題」とは、「原理的に真か偽かいずれか１つに定まる主張の事」を表す。)
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(定義3:集合)
集合A,Bにおいて、
x∈A⇒x∈B
が成り立つとき、AはBの部分集合であるといい、これをA⊂BまたはB⊃Aで表す。
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(定義4:集合)
A,Bを集合として、
A⊂B,A⊃B
が成り立つとき、集合AとBは等しいといい、これをA＝Bで表す。
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(定義5:集合)
A,Bを集合として、
{x|x∈Aまたはx∈B}
と定義された集合を、AとBの和集合または合併集合といい、これをA∪Bで表す。
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(定義6:集合)
A,Bを集合として、
{x|x∈A,x∈B}
と定義された集合を、AとBの積集合または共通部分といい、これをA∩Bで表す。
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(定義7:集合)
要素を何も持たない集合を空集合といい、これをΦで表して、
任意の集合Aにおいて、Φ⊂Aが成り立つと定める。
またA,Bを集合として、A∩B＝Φが成り立つとき、AとBは互いに素であるという。
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(定義8:集合)
A,Bを集合として、
{x|x∈A,￢(x∈B)}
と定義された集合をAとBの差集合といい、これをA＼BまたはA-Bで表す。
(ここで￢(x∈B)は、x∈Bの否定を表す。)
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以上の定義より、以下の命題が成り立つ。(過去のtwitterのつぶやきより引用。)
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(命題1:集合)
A,Bは集合、B⊂A、A＼B＝Φとしたとき、
A＝B
が成り立つ。
[証]
∀a∈Aとして、￢(a∈B)(a∈Bの否定)とすると、(定義8:集合)よりa∈A＼Bとなり、
仮定A＼B＝Φに反するので、a∈Bとなる。
よってa∈A⇒a∈Bが成り立つので、(定義3:集合)よりA⊂Bとなり、
仮定よりB⊂Aなので、(定義4:集合)よりA＝Bが成り立つ。■
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