過去のtwitterのつぶやきより引用。
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実数に関し、以下の記号・用語を定義する。
(以下a,bで表しているものは、実数を表すものとする。)
(定義1:順序)
(i) a>b:=a-b>0
(ii) a≧b:=a>bまたはa=b
(iii)a<0:=-a>0
(iv)a>0のときaを正の数、a<0のときaを負の数という。
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また実数において、
(i)a,b∈R、a>0,b>0⇒a+b>0、ab>0
(ii)a,b∈R⇒a>0,a=0,-a>0のどれか一つが成り立つ。
が成り立つ事を認め、これらを「実数の基本性質」と呼ぶことにしよう。
(※ここでRは実数全体の集合を表し、
(ii)は一般に「全順序性」と言われる性質である。)
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すると下記の命題を示すことができる。(「解析入門／ラング先生著」を参考)
(命題1:順序)
a,b,c∈R、a>b,b>c⇒a>c
[証]
仮定が成り立つとすると、(定義1:順序)(i)よりa-b>0,b-c>0となるので、
実数の基本性質(i)より(a-b)+(b-c)>0⇔a-c>0となるから、
再び(定義1:順序)(i)よりa>cを得る。■
(命題2:順序)
a,b,c∈R、a>b,c>0⇒ac>bc
[証]
仮定が成り立つとすると、(定義1:順序)(i)よりa-b>0となり、仮定よりc>0なので、
実数の基本性質(i)より、(a-b)c>0⇔ac-bc>0となるから、
再び(定義1:順序)(i)よりac>bcを得る。■
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