過去のtwitterのつぶやきより引用。
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(命題1:幾何)
a,b,m,n>0のとき、
a:b=m:n⇔b:a=n:m
が成り立つ。
[証]
(i)十分性：
a:b=m:nとすると、a/b=m/nとなって、
両辺の逆数をとるとb/a=n/mとなるので、
b:a=n:mが成り立つ。
(ii)必要性：
b:a=n:mとすると、(i)よりa:b=m:nが成り立つ。■
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(命題2:幾何)
a,b,m,n>0として、a:b=m:nとしたとき、
(i) m>n⇒a>b
(ii) m=n⇒a=b
(iii)m<n⇒a<b
が成り立つ。
[証]
a:b=m:nよりa/b=m/nとなるので、m=a/b・nが成り立つ。
このときn,b>0よりb/n>0となるので、
「m>n⇒a/b・n>n⇒a・n/b・b/n>n・b/n⇒a>b」、
「m=n⇒a/b・n=n⇒a・n/b・b/n=n・b/n⇒a=b」、
「m<n⇒a/b・n<n⇒a・n/b・b/n<n・b/n⇒a<b」
が成り立つ。■
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(命題3:幾何)
a,b,m,n>0として、a:b=m:nとしたとき、
(i) (a+b):b=(m+n):n
(ii)a:(a+b):m:(m+n)
が成り立つ。
[証]
(i)について:
a:b=m:nよりa/b=m/nとなるので、(a+b)/b=a/b+b/b=m/n+n/n=(m+n)/n
となるので、(a+b):b=(m+n):nが成り立つ。
(ii)について:
a:b=m:nなので、(命題1:幾何)よりb:a=n:mとなって、
(i)より(b+a):a=(n+m):mとなるので、
再び(命題1:幾何)よりa:(a+b)=m:(m+n)が成り立つ。■
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(命題4:幾何)
a,b,m,n>0として、a:b=m:nとしたとき、
(i) m>n⇒(a-b):b=(m-n):n
(ii)m<n⇒a:(b-a)=m:(n-m)
が成り立つ。
[証]
(i)について:
a:b=m:nよりa/b=m/nとなって、m>nのとき(m-n)>0であり、
(命題2:幾何)より(a-b)>0となるので、
(a-b)/b=a/b-b/b=m/n-n/n=(m-n)/n
よって(a-b):b=(m-n):nが成り立つ。
(ii)について:
a:b=m:nなので、(命題1:幾何)よりb:a=n:mとなって、
m<nのとき(i)より(b-a):a=(n-m):m
となるので、再び(命題1:幾何)よりa:(b-a)=m:(n-m)が成り立つ。■
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(命題5:幾何)
点pを線分ABをm:nに内分する点としたとき、
(i) 点Bは線分Apを(m+n):nに外分する点
(ii)点Aは線分pBをm:(m+n)に外分する点
が成り立つ。
[証]
仮定が成り立つならば、(定義10:幾何)よりpは点A,Bの間の点となるので、
点Bは線分Apの、点Aは線分pBの延長上の点であり、
どちらの場合もAp:pB=m:nが成り立つので、
(命題3:幾何)よりAB:pB=(Ap+pB):pB=(m+n):n,Ap:AB=Ap:(Ap+pB)=m:(m+n)が成り立つ。
よって(定義10:幾何)より点Bは線分Apを(m+n):nに、
点Aは線分pBをm:(m+n)に外分する点である。■
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(命題6:幾何)
点qを線分ABをm:nに外分する点としたとき、
(i)「m>n⇒点Bは線分Aqを(m-n):nに内分する点」
(ii)「m<n⇒点Aは線分qBをm:(n-m)に内分する点」
が成り立つ。
[証]
仮定が成り立つならば(定義10:幾何)よりqは線分ABの延長上の点となるので、
点Bが線分Aq上に存在するか、点Aが線分qB上に存在するかのどちらか1つが成り立ち、
前者であればAq>Bq,後者であればAq<Bqが成り立って、
どちらの場合もAq:Bq=m:nが成り立つ。
よってm>nならば(命題2:幾何)よりAq>Bqとなるので、点Bは線分Aq上の点であり、
(命題4:幾何)よりAB:Bq=(Aq-Bq):Bq=(m-n):nとなるので、
点Bは線分Aqを(m-n):nに内分する点である。
またm<nならば同様に(命題2:幾何)よりAq<Bqとなるので、
点Aは線分qB上の点であり、
(命題4:幾何)よりqA:AB=Aq:(Bq-Aq)=m:(n-m)となるので、
点Aは線分qBをm:(n-m)に内分する点である。■
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(命題7:幾何)
a,b,m,n>0としたとき、
a:b=m:n⇔an=bm
が成り立つ。
[証]
b,n>0よりbn≠0だから
a:b=m:n⇔a/b=m/n⇔a/b・bn=m/n・bn⇔an=mb⇔an=bm
となる。■
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(命題8:幾何)
a,b,m,n>0としたとき、次の(i)～(iii)は同値である。
(i) a:b=m:n
(ii) a:(a+b)=m:(m+n)
(iii)(a+b):b=(m+n):n
[証]
(i)⇔an=bm(∵(命題7:幾何)より)⇔a{(m+n)-m}={(a+b)-a}m
⇔a(m+n)-am=(a+b)m-am⇔a(m+n)=(a+b)m
⇔a:(a+b)=m:(m+n)(∵(命題7:幾何)より)⇔(ii)。
(i)⇔an=bm(∵(命題7:幾何)より)⇔{(a+b)-b}n=b{(m+n)-n}
⇔(a+b)n-bn=b(m+n)-bn⇔(a+b)n=b(m+n)
⇔(a+b):b=(m+n):n(∵(命題7:幾何)より)⇔(iii)。
上記より(i)⇔(ii)なので、⇔の対称律より(ii)⇔(i)となり、
更に(i)⇔(iii)が成り立つので、
⇔の推移律より(ii)⇔(iii)が成り立つ。■
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(命題9:幾何)
a,b,m,n>0としたとき、
(i)m>nならば次の(1)～(3)は同値である。
(1)a:b=m:n,(2)a:(a-b)=m:(m-n),(3)(a-b):b=(m-n):n。
(ii)m<nならば次の(4)～(6)は同値である。
(4)a:b=m:n,(5)a:(b-a)=m:(n-m),(6)(b-a):b=(n-m):n。
[証]
(i)について：
a:b=m:nにおいてm>nとすると(m-n)>0であり、
(命題2:幾何)より(a-b)>0なので、(命題8:幾何)において、
aを(a-b)、mを(m-n)と置き換えると、
(1)⇔a:b=m:n⇔{(a-b)+b}:b={(m-n)+n}:n
⇔(a-b):{(a-b)+b}=(m-n):{(m-n)+n}(∵(命題8:幾何)(iii)⇔(ii)より)
⇔(a-b):a=(m-n):m⇔a:(a-b)=m:(m-n)(∵(命題1:幾何)より)⇔(2)。
(1)⇔(a-b):{(a-b)+b}=(m-n):{(m-n)+n}(∵上記より)
⇔(a-b):b=(m-n):n(∵(命題8:幾何)(ii)⇔(i)より)⇔(3)。
上記より(1)⇔(2)なので⇔の対称律より(2)⇔(1)となり、
更に(1)⇔(3)が成り立つので、⇔の推移律より(2)⇔(3)が成り立つ。
(ii)について：
(i)においてmをn、nをm、aをb、bをaに置き換えると、
m<nならば(4')b:a=n:m,(6')b:(b-a)=n:(n-m),(5')(b-a):a=(n-m):m
となって、(4')⇔(5')⇔(6')であり、
(命題1:幾何)より(4')⇔(4),(5')⇔(5),(6')⇔(6)が成り立つので、
(4)⇔(5)⇔(6)が成り立つ。■
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(命題10:幾何)
a,b>0,n≠0としたとき、
(i) a:b=an:bn
(ii)a:b=a/n:b/n
が成り立つ。
[証]
(i)について：
n≠0とすると、a/b=(an)/(bn)となるので、a:b=an:bnが成り立つ。
(ii)について：
n≠0とすると、1/n≠0なので、
(i)よりa:b=a・(1/n):b・(1/n)=a/n:b/nとなるので、
a:b=a/n:b/nが成り立つ。■
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(命題11:幾何)
点E,E'を端点ではない線分AC上の点として、
AE:EC=AE':E'Cが成り立つならば、E=E'である。
[証]
仮定よりEC=AC-AE,E'C=AC-AE'が成り立つので、
AE:EC=AE':E'C⇔AE・E'C=EC・AE'(∵(命題7:幾何)より)
⇔AE(AC-AE')=(AC-AE)AE'⇔AE・AC-AE・AE'=AC・AE'-AE・AE'
⇔AE・AC=AC・AE'⇔AE・AC=AE'・AC⇔AE:AE'=AC:AC(∵(命題7:幾何)より)
⇒AE=AE'(∵(命題2:幾何)より)。
ここでE≠E'とすると、点E,E'は端点ではない線分AC上の点なので、
EがAとE'の間に存在するか、E'がAとEの間に存在するかのどちらか1つが成り立ち、
前者であればAE<AE'となり、後者であればAE>AE'となって、
いずれにしてもAE=AE'に反するので、E=E'である。■
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(命題12:幾何)
(i) L[l]＝E[A,B],A≠B⇒L[l]＝L[AB]
(ii)L[AB]＝E[C],A≠C⇒L[AB]＝L[AC]
[証]
(i)について：
仮定よりL[l]＝E[A,B]であり、A≠Bなので、L[AB]＝E[A,B]である。
よって(公理1:幾何)よりL[l]＝L[AB]が成り立つ。
(ii)について：仮定よりL[AB]＝E[A,C]であり、A≠Cであるから、
(i)よりL[AB]＝L[AC]が成り立つ。■
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(命題13:幾何)
(i) L[l]＝E[O,A,B],∃P(L[l]≠E[P],L[OP]＝S[A,B])⇒P[O,l]＝S[A,B]
(ii) L[l]＝E[O,A,B],∃P(L[l]≠E[P],L[OP]≠S[A,B])⇒P[O,l]≠S[A,B]
(iii)P[O,l]＝S[A,B],L[l]≠E[P]⇒L[OP]＝S[A,B]
(iv)P[O,l]≠S[A,B],L[l]≠E[P]⇒L[OP]≠S[A,B]
[証]
(i)について：
仮定よりL[l]＝E[O,A,B],∃P(L[l]≠E[P],L[OP]＝S[A,B])なので、
(定義2:幾何)よりL[l]＝E[O,A,B],∃P(L[l]≠E[P],L[OP]≠E[A,B],(A＝Bまたは(A≠B,L[OP]≠X[AB])))
となり、L[l]＝E[O,A,B],O≠A,O≠B,(A＝Bまたは(A≠B,B[A,B]≠E[O]))
となるので、L[l]＝E[O,A,B],∃P(L[l]≠E[P],L[OP]≠E[A,B],(A＝Bまたは(A≠B,L[OP]≠X[AB])))
となり、L[l]＝E[O,A,B],O≠A,O≠B,(A＝Bまたは(A≠B,B[A,B]≠E[O]))
となるので、(定義3:幾何)よりP[O,l]＝S[A,B]が成り立つ。
(ii)について：
仮定よりL[l]＝E[O,A,B],∃P(L[l]≠E[P],L[OP]≠S[A,B])なので、
(定義2:幾何)よりL[l]＝E[O,A,B],∃P(L[l]≠E[P],L[OP]≠E[A,B],A≠B,L[OP]＝X[AB,O])
となり、L[l]＝E[O,A,B],O≠A,O≠B,A≠B,B[A,B]＝E[O]となるので、
(定義3:幾何)よりP[O,l]≠S[A,B]が成り立つ。
(iii)について：
仮定よりP[O,l]＝S[A,B]なので、
(定義3:幾何)よりL[l]＝ E[O,A,B],O≠A,O≠B,(A＝Bまたは(A≠B,B[A,B]≠E[O]))
が成り立つ。よって仮定よりL[l]≠ E[P]なので、
L[l]＝E[O,A,B],O≠A,O≠BよりL[OP]≠E[A,B]が成り立ち、
O≠A,O≠B,A≠B,B[A,B]≠E[O],L[OP]＝E[O]よりL[OP]≠X[AB]が成り立つ。
よってL[OP]≠E[A,B],(A＝Bまたは(A≠B,L[OP]≠X[AB]))が成り立つので、
(定義2:幾何)よりL[OP]＝S[A,B]が成り立つ。
(iv)について：
仮定よりP[O,l]≠S[A,B]なので、
(定義3:幾何)よりL[l]＝E[O,A,B],O≠A,O≠B,A≠B,B[A,B]＝E[O]
が成り立つ。よって仮定よりL[l]≠E[P]なので、
L[l]＝E[O,A,B],O≠A,O≠BよりL[OP]≠E[A,B]が成り立ち、
B[A,B]＝E[O],L[OP]＝E[O]よりL[OP]＝X[AB,O]が成り立つ。
よってL[OP]≠E[A,B],A≠B,L[OP]＝X[AB]が成り立つので、
(定義2:幾何)よりL[OP]＝S[A,B]が成り立つ。■
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(命題14:幾何)
(i) L[l]＝S[A,B],L[l]＝S[A,C]⇒L[l]＝S[B,C]
(ii) L[l]＝S[A,B],L[l]≠S[A,C]⇒L[l]≠S[B,C]
(iii)L[l]≠S[A,B],L[l]≠S[A,C]⇒L[l]＝S[B,C]
[証]
(i)について：
仮定が成り立っているとすると、
(定義2:幾何)よりL[l]≠E[A,B],(A＝Bまたは(A≠B,L[l]≠X[AB]))、
L[l]≠E[A,C],(A＝Cまたは(A≠C,L[l]≠X[AC]))となるので、
B＝Cとすると、L[l]≠E[B,C],B＝Cが成り立ち、
B≠Cとしても、A＝BまたはA＝Cのとき、
L[l]≠E[B,C],(B＝Cまたは(B≠C,L[l]≠X[BC]))が成り立ち、
A≠B,L[l]≠X[AB],A≠C,L[l]≠X[AC]のとき、
(公理2:幾何)よりL[l]≠X[BC]となるので、
L[l]≠E[B,C],B≠C,L[l]≠X[BC]が成り立つ。
よっていずれにしてもL[l]≠E[B,C],(B＝Cまたは(B≠C,L[l]≠X[BC]))
が成り立つので、(定義2:幾何)よりL[l]＝S[B,C]が成り立つ。
(ii)について：
仮定が成り立っているとすると、
(定義2:幾何)よりL[l]≠E[A,B],(A＝Bまたは(A≠B,L[l]≠X[AB]))、
L[l]≠E[A,C],A≠C,L[l]＝X[AC]となるので、
A＝Bのとき、L[l]≠E[B,C],B≠C,L[l]＝X[BC]が成り立ち、
A≠B,L[l]≠X[AB]のとき、もしB＝Cとすると、
L[l]＝X[AC],L[l]≠X[AC]となって矛盾するので、B≠Cであり、
(公理2:幾何)よりL[l]＝X[BC]となるので、
L[l]≠E[B,C],B≠C,L[l]＝X[BC]が成り立つ。
よっていずれにしてもL[l]≠E[B,C],B≠C,L[l]＝X[BC]が成り立つので、
(定義2:幾何)よりL[l]≠S[B,C]が成り立つ。
(iii)について：
仮定が成り立っているとすると、
(定義2:幾何)よりL[l]≠E[A,B],A≠B,L[l]＝X[AB]、
L[l]≠E[A,C],A≠C,L[l]＝X[AC]となるので、
B＝Cとすると、L[l]≠E[B,C],B＝Cが成り立ち、
B≠Cとしても(公理2:幾何)よりL[l]≠X[BC]となるので、
L[l]≠E[B,C],B≠C,L[l]≠X[BC]が成り立つ。
よっていずれにしてもL[l]≠E[B,C],(B＝Cまたは(B≠C,L[l]≠X[BC]))
が成り立つので、(定義2:幾何)よりL[l]＝S[B,C]が成り立つ。■
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(命題15:幾何)
(i) P[O,l]＝S[A,B],P[O,l]＝S[A,C]⇒P[O,l]＝S[B,C]
(ii) P[O,l]＝S[A,B],P[O,l]≠S[A,C]⇒P[O,l]≠S[B,C]
(iii)P[O,l]≠S[A,B],P[O,l]≠S[A,C]⇒P[O,l]＝S[B,C]
[証]
(i)について：
仮定が成り立っているとすると、(定義3:幾何)、(命題13:幾何)より
L[l]＝E[O,A.B,C],∀P(L[l]≠E[P]⇒L[OP]＝S[A,B],L[OP]＝S[A,C])
となるので、∀P(L[l]≠E[P])とすると、
L[l]＝E[O,A,B,C],∀P(L[l]≠E[P],L[OP]＝S[A,B],L[OP]＝S[A,C])となって、
L[l]＝E[O,B,C],∃P(L[l]≠E[P],L[OP]＝S[A,B],L[OP]＝S[A,C]となり、
(命題14:幾何)よりL[l]＝E[O,B,C],∃P(L[l]≠E[P],L[OP]＝S[B,C])となるので、
再び(命題13:幾何)よりP[O,l]＝S[B,C]が成り立つ。
(ii),(iii)について：
(i)と同様にして示される。■
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(定理1:幾何)
異なる2直線は交わらないか、1点で交わるかのどちらかである。
[証]
異なる2直線l,mが2点以上で交わっていたとすると、
2点で交わる直線が2つ存在することになり、(公理1:幾何)に反する。
よって2点以上で交わることはないので交わらないか、
1点で交わるかのどちらかである。■
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(定理2)
直線AEの点A,Eの間に点Cがあり、
直線AEと異なる直線BFの点B,Fの間に点Dがあって、
AB//CD//EFかつ点Dから直線AEへの距離及び点Cから直線BFへの距離が正であるとき、
AC:CE=BD:DFが成り立つ。
[証]
点Dから直線AEへの垂線の足をH,点Cから直線BFへの垂線の足をH'とすると、
仮定よりDH,CH'>0なので、1/2・DH,1/2・CH'≠0となるから、
(命題10:幾何)(i)よりAC:CE=AC・(1/2・DH):CE・(1/2・DH)=△ACDの面積:△CEDの面積・・・①、
BD:DF=BD・(1/2・CH'):DF・(1/2・CH')=△BCDの面積:△DCFの面積・・・②
が成り立つ。一方線分CDを底辺とした△ACD,△BCDを考えると、
仮定よりAB//CDなので、この2つの三角形の高さは等しいから、
△ACDの面積=△BCDの面積となり、
同様に線分CDを底辺とした△CED,△DCFを考えると、仮定よりCD//EFなので、
この2つの三角形の高さは等しいから△CEDの面積=△DCFの面積となる。
よって△ACDの面積:△CEDの面積=△BCDの面積:△DCFの面積…③となるから、
①,②,③よりAC:CE=BD:DFが成り立つ。■
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(定理3:幾何)
△ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点D,Eがあって、DE//BCであるとき、
AD:DB=AE:EC
が成り立つ。
[証]
(定理2:幾何)の証明と同様に考えれば、AD:DB=△ADEの面積:△DBEの面積・・・①、
AE:EC=△ADEの面積:△ECDの面積・・・②、
△ADEの面積:△DBEの面積=△ADEの面積:△ECDの面積・・・③が導かれるので、
①,②,③よりAD:DB=AE:ECが成り立つ。■
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(定理4:幾何(定理3:幾何の逆))
△ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点D,Eがあって、AD:DB=AE:ECであるとき、
DE//BC
が成り立つ。
[証]
平行線の公理より点Dを通り辺BCと平行な直線lを引くと、
lは線分ABと交わり、l//BCより線分BCとは交わらないので、
(公理2:幾何)よりlは線分AC即ち辺ACと交わる。
よってこの交点をE'とおくと、DE'//BCなので(定理3:幾何)よりAD:DB=AE':E'Cとなり、
仮定よりAD:DB=AE:ECなので、AE:EC=AE':E'Cが成り立つ。
ここで点E,E'は端点ではない線分AC上の点なので、
(命題11:幾何)よりE=E'となるので、DE//BCが成り立つ。■
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(定理5:幾何)
△ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点D,Eがあるとき、次の(i)～(iii)は同値である。
(i) AD:DB=AE:EC
(ii) AD:AB=AE:AC
(iii)AB:DB=AC:EC
[証]
AD,DB,AE,EC>0であり、AB=AD+DB、AC=AE+ECであるから、
(命題8:幾何)においてaをAD,bをDB,mをAE,nをECと置き換えると、
(定理5:幾何)が導かれる。■
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