過去のtwitterのつぶやきより引用。
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(公理1:幾何)
異なる2点を通る直線は、唯一つ存在する。
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(公理2:幾何(パッシュの公理))
直線l外に相異なる3点A,B,Cが存在するとき、lは3つの線分AB,AC,BCのいずれとも交わらないか、またはそのうち2つの線分と交わって他の1つの線分と交わらないかのどちらか1つが成り立つ。
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(定義1:幾何)
直線ABのAとBの間の部分にAとBを付け加えたものを線分ABといい、このときAとBを線分ABの端点または端という。
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(定義2:幾何)
直線lとl外にある2点A,Bを考える。このときA≠Bで線分ABがlと交わるならば、lに関してAとBは反対側にあるといい、そうでないときlに関してAとBは同じ側にあるという。
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(定義3:幾何)
直線l上の1点Oをとり、さらにl上からOと異なる2点A,Bをとる。このときA≠BでOがAとBの間にあるならばOに関してAとBは反対側にあるといい、そうでないときOに関してAとBは同じ側にあるという。
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(定義4:幾何)
直線OAにおいてOに関してAと同じ側にある直線OAの部分にOを付け加えたものを半直線OAといい、このときOを端点という。
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(定義5:幾何)
直線OAから半直線OAを除いた残りを半直線OAの延長といい、
直線ABから線分ABを除いた残りを線分ABの延長という。
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(定義6:幾何)
Oを端点とする異なる2つの半直線OA,OBからなる図形を角AOBといい、∠AOBで表す。特にO,A,Bが同一直線上にあるとき、∠AOBを平角といい、このとき∠AOB=180°と定める。
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(定義7:幾何)
∠AOBが平角でないとき、直線OAに関してBと同じ側にある部分と、直線OBに関してAと同じ側にある部分の共通部分を∠AOBの内部といい、∠AOBの内部と半直線OA,OBを除いた部分を∠AOBの外部という。
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(定義8:幾何)
A,B,Cを直線上にない3点としたとき、線分AB,BC,CAからなる図形を三角形ABCといい、△ABCで表す。このとき点A,B,Cを△ABCの頂点といい、∠CAB,∠ABC,∠BCAを△ABCの角または内角という。内角はそれぞれ∠A,∠B,∠Cと表すこともある。
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(定義9:幾何)
△ABCにおいて、∠Aの内部、∠Bの内部、∠Cの内部の共通部分を△ABCの内部といい、△ABCの内部と線分AB,BC,CAを除いた部分を△ABCの外部という。
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(定義10:幾何)
線分AB上に点Pがあり、AP:PB=m:nが成り立つとき、点Pは線分ABをm:nに内分するという。また線分ABの延長上に点Qがあり、AQ:BQ=m:nが成り立つとき、点Qは線分ABをm:nに外分するという。
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(定義11:幾何)
便宜上記法を下記の通り定める。
(1)2つの直線AB,CDが等しいことをL[AB]＝L[CD]、等しくないことをL[AB]≠L[CD]で表す。
(2)2つの半直線AB,CDが等しいことをH[AB]＝H[CD]、等しくないことをH[AB]≠H[CD]で表す。
(3)直線AB上にn点C_1,…,C_nが存在することをL[AB]＝E[C_1,…,C_n]、存在しないことをL[AB]≠E[C_1,…,C_n]で表す。
(4)半直線AB上にn点C_1,…,C_nが存在することをH[AB]＝E[C_1,…,C_n]、存在しないことをH[AB]≠E[C_1,…,C_n]で表す。
(5)直線ABと線分CDが交わることをL[AB]＝X[CD]、交わらないことをL[AB]≠X[CD]で表し、特に点Oで交わることをL[AB]＝X[CD,O]で表す。
(6)半直線ABと線分CDが交わることをH[AB]＝X[CD]、交わらないことをH[AB]≠X[CD]で表し、特に点Oで交わることをH[AB]＝X[CD,O]で表す。
(7)直線ABに関して2点C,Dが同じ側にあることをL[AB]＝S[C,D]、反対側にあることをL[AB]≠S[C,D]で表す。
(8)直線AB上の点Oに関して2点C,Dが同じ側にあることをP[O,AB]＝S[C,D]、反対側にあることをP[O,AB]≠S[C,D]で表す。
(9)2点A,Bの間に点Cが存在することをB[A,B]＝E[C]、存在しないことをB[A,B]≠E[C]で表す。
※以上直線lについても上記と同様の記法を用いる事とする。
(これらの記法を用いると、
(公理1:幾何)は、
∃!l(A≠B,L[l]＝E[A,B])(ここで!は、唯一である事を意味する)、
(公理2:幾何)は、
L[l]≠E[A,B,C],A≠B,A≠C,B≠C
⇒(L[l]≠X[AB],L[l]≠X[AC],L[l]≠X[BC])または(L[l]＝X[AB],L[l]＝X[AC],L[l]≠X[BC])
または(L[l]＝X[AB],L[l]≠X[AC],L[l]＝X[BC])または(L[l]≠X[AB],L[l]＝X[AC],L[l]＝X[BC])、
(定義2:幾何)は、
L[l]≠S[A,B]:=(L[l]≠E[A,B],A≠B,L[l]＝X[AB])、
L[l]＝S[A,B]:=(L[l]≠E[A,B],(A＝Bまたは(A≠B,L[l]≠X[AB])))、
(定義3:幾何)は、
P[O,l]≠S[A,B]:=(L[l]＝E[O,A,B],O≠A,O≠B,A≠B,B[A,B]＝E[O])、
P[O,l]＝S[A,B]:=(L[l]＝E[O,A,B],O≠A,O≠B,(A＝Bまたは(A≠B,B[A,B]≠E[O])))、
(定義4:幾何)は、
H[OA]:={x|P[O,OA]＝S[A,x]}∪{O}、
と表される。)
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