過去のtwitterのつぶやきより引用。
(話が前後してしまったが、集合の定義は、
を参照)
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(定義1:順序対)
A,Bを集合として、a,c∈A,b,d∈Bとしたとき、「(a,b)=(c,d)⇔(a=c),(b=d)」
と定められた対を順序対という。このときa≠bならば(a,b)≠(b,a)である。
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(定義2:直積集合)
A,Bを集合としたとき、AとBの順序対全体の集合を集合Aと集合Bの直積集合といい、AxBで表す。特にA=Bの時、A^2で表す。
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(定義3:関係)
Aを集合としたとき、直積集合A^2の部分集合RをA上の関係という。このときx,y∈Aとして(x,y)∈Rが成り立つとき、xとyはRという関係にあるといい、これをxRyで表す。
(例)
"人"を人間の集合、"投"をニコ動に投稿する人の集合、"コ"をニコ動にコメントをする人の集合とすると、"投"⊂"人"、"コ"⊂"人"であるから、"投"x"コ"⊂"人"^2である。よってx,y∈"投"x"コ"ならばxとyは"投"x"コ"という関係にある。
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(定義4:同値関係)
Rを集合A上の関係として、次の3つの条件を満たすとき、RをAにおける同値関係という。(以下x,y,z∈Aとする。)
(i)xRx(反射律)
(ii)xRy⇒yRx(対称律)
(iii)xRy,yRz⇒xRz(推移律)
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