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MathTriangleの雑記帳

主に数学について書いていくブログです。数学の他にパズル、謎解き、音楽にも興味があります。

数学

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 (練習124)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 (練習124) [証] (1)2点NとMを結ぶ。すると仮定より2点N、Mはそれぞれ△CABの2辺AC、BCの中点なので、中点連結定理…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 (124の参考2)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 (124の参考2)124の問題でAC=BDならば四角形PQRSはひし形である。 [証]2点AとC、2点BとDを結ぶ。すると仮定より4点…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 (124の参考1)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 (124の参考1)124の問題でAC⊥BDならば四角形PQRSは長方形である。 [証]2点AとC、2点BとDを結び、線分ACと辺PSとの交…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 (124)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 (124) [証]2点AとC、2点BとDを結ぶ。すると仮定より2点S、Rはそれぞれ△DACにおいて辺DA、DCの中点なので、中点連結…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理と線分の長さ p.428 (練習123)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理と線分の長さ p.428 (練習123) [解](1)△AECにおいて、2点D、Fはそれぞれ辺AE、ACの中点なので、中点連結定理よりEG//DF・・・[1]DF=…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理と線分の長さ p.428 (123)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理と線分の長さ p.428 (123) [解]仮定より2点M、Dはそれぞれ△BEAの辺BA、BEの中点なので中点連結定理よりMD//AE・・・[1]MD=(1/2)AE…

中点連結定理の関連定理

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー (中点連結定理の関連定理)△ABCの辺ABの中点Mを通り、辺BCに平行な直線と辺ACとの交点をNとすると、AN=NCが成り立つ。 [証]仮定よりAM=MBなので、AM:MB=1:1であり、仮定よりMN//BCな…

中点連結定理

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー (中点連結定理)△ABCの2辺AB、ACの中点をそれぞれM、Nとすると、MN//BC、MN=(1/2)BCが成り立つ。 [証] 2点M、Nはそれぞれ辺AB、ACの中点なので、AM:AB=AM:2AM=1:2AN:AC=AN:2AN…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の内角の二等分線の性質の証明 p.427 (練習122)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の内角の二等分線の性質の証明 p.427 (練習122) [解]半直線ADは∠Aの二等分線なので、三角形の内角の二等分線の性質よりBD:DC=AB:CA=9:6=3…

比例式の性質

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーa:b=α:β(a>0、b>0、α>0、β>0)ならば、(ⅰ) a=(α/(α+β))(a+b)(ⅱ) b=(β/(α+β))(a+b)(ⅲ) α=(a/(a+b))(α+β)(ⅳ) β=(b/(a+b))(α+β)が成り立ち…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 平行線と線分の比の定理と線分の長さ p.425 (練習120)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 平行線と線分の比の定理と線分の長さ p.425 (練習120) [解] (1) 平行線と線分の比の定理より x:4=5:3 3x=20 x=20/3 また上図のよ…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 平行線と線分の比の定理と線分の長さ p.425 (120)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 平行線と線分の比の定理と線分の長さ p.425 (120) [解] 上図のように交点をとり、点Aを通り直線FDに平行な直線をAHとする。 するとl//m、AG//FEより四…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の内角の二等分線の性質の証明 p.427 (122)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の内角の二等分線の性質の証明 p.427 (122) [証]点Cを通り、線分ADに平行な直線と半直線BAとの交点をEとする。すると、△BECにおいてAD//ECが成…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 線分の長さの比 p.426 (練習121)

この問題は考えても解けなかったので、解説を読んで再チャレンジした(くやしい)。ポイントは何を基準にKH、GBを求めるか、またその基準はどうやったら求められるかということだと思う。(この問題の場合は、BIが基準となる)ーーーーーーーーーーーーーー…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 線分の長さの比 p.426 (121)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 線分の長さの比 p.426 (121) [解]点Aを通り、線分EFに平行な直線と半直線CBとの交点をGとおく。するとPE//AGなので、三角形の線分の比の定理よりAP:P…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理と線分の長さ p.424 (練習119)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理と線分の長さ p.424 (練習119) [解](1)DE//BCなので、AD:AB=DE:BC4:(4+x)=8:12=2:32(4+x)=4・34+x=2・3x=…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理と線分の長さ p.424 (119)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理と線分の長さ p.424 (119) [解](1)DE//BCなので、AD:AB=DE:BC6:(6+3)=x:126:9=x:129x=6・12x=8(cm) (2)DE…

定理4の補足

(補足)定理4よりAD:AB=AE:ACならばDE//BCであり、定理3+よりDE//BCならばAD:AB=AE:AC=DE:BCなので、AD:AB=AE:ACならばAD:AB=AE:AC=DE:BCが成り立つ。

新体系・中学数学の教科書(下)(芳沢先生の教科書) p.92 (定理4)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー新体系・中学数学の教科書(下)(芳沢先生の教科書) p.92 (定理4) [証]仮定よりAD:AB=AE:ACなので、定理5よりAD:DB=AE:EC・・・[1]となるので、点Dを通って線分BCと平行な直線を…

幾何のおもしろさ p.5 (公理2)

芳沢先生の教科書 p.92の定理4の証明の為に、幾何のおもしろさに記載されている公理2を定める。 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー幾何のおもしろさ p.5 (公理2)直線lが3点A、B、Cのいずれも通らないとき、lは3つの線分AB、AC…

新体系・中学数学の教科書(下)(芳沢先生の教科書) p.91 (定理3+)

下記は定理3を拡張したもので、DE//BCのとき、AD:AB=AE:ACだけではなく、AD:AB=AE:AC=DE:BCも言えることを示したものである。(但し証明に定理3、5を使っているので、事前にこれらを証明しておかなければならない。)ーーーーーーーーーーーーーーー…

新体系・中学数学の教科書(下)(芳沢先生の教科書) p.93 (定理5)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー新体系・中学数学の教科書(下)(芳沢先生の教科書) p.93 (定理5) [証](ⅰ)⇔(ⅱ)について:AD:DB=AE:EC⇔AD/DB=AE/EC(∵DB≠0、EC≠0)⇔AD・EC=DB・AE⇔AD・AE+AD・EC=AD・AE+DB・…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理の証明 p.423 (練習118)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理の証明 p.423 (練習118) [証]仮定よりDE//BCなので、上記118よりAD:AB=AE:ACとなり、比例式の外項の積と内項の積は等しいの…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理の証明 p.423 (118)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理の証明 p.423 (118) [証]∠DAE=∠BAC(共通)であり、仮定よりDE//BCなので、∠ADE=∠ABC(同位角)である。よって△ADEと△ABCに…

新体系・中学数学の教科書(下)(芳沢先生の教科書) p.91 (定理3)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー新体系・中学数学の教科書(下)(芳沢先生の教科書) p.91 (定理3) [証]辺AD、ABを底辺とした△ADE、△ABEの高さをh1とおくとAD/AB=((1/2)・AD・h1)/((1/2)・AB・h1)=△ADEの面積/…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 方べきの定理(1) p.421 (116)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 方べきの定理(1) p.421 (116) [証](1)∠APC=∠DPB(対頂角)・・・[1]∠CAP=∠BDP(弧CBに対する円周角)・・・[2]△APCと△DPBにおいて[1]、[…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 接線と弦の作る角の定理の証明 p.405 (104)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 接線と弦の作る角の定理の証明 p.405 (104) [証]円Oの直径ADを引き、2点C、Dを結ぶ。すると直線ATは点Aにおける接線なので∠DAT=90°・・・[1]∠DCAは…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 円と相似 p.420 (練習115)

下記の証明は、仮定のAC=ADを用いていないことに注意。(つまりこれがなくても△ACD∽△AEFが成り立つということ)ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 円と相似 p.420 (練習115) [証]2点A、…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 円と相似 p.420 (115)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 円と相似 p.420 (115) [解](1)∠ACDと∠ABD、∠BCAと∠ADPはそれぞれ弧AD、ABに対する円周角なので円周角の定理より∠ACD=∠ABD∠BCA=∠ADPとなり、仮定よ…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の相似条件を利用した証明(3) p.419 (練習114)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の相似条件を利用した証明(3) p.419 (練習114) [解](1)∠BAC=∠DAB(共通)・・・[1]であり、仮定より∠ABC=2∠BCA、∠DBA=∠DBCなので、(∠…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の相似条件を利用した証明(2) p.418 (練習113)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の相似条件を利用した証明(2) p.418(練習113)[解](1)仮定より△ABD∽△ACEであり、相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、AB:AC=AD…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の相似条件を利用した証明(2) p.418 (113)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の相似条件を利用した証明(2) p.418 (113) [証] 仮定より△ABCは、AB=BC=AC=6(cm)の正三角形・・・[1]△ADEは、AE=DE=AD=4(cm)の…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の相似条件を利用した証明(1) p.417 (練習112)

中学数学が苦手だったので、かなり前から中学数学を勉強し直しているが、 まだわからない事が多い(特に相似)。 参考書は、「中学数学/学研教育出版・牧野正博著」や芳沢先生の教科書を利用している。 以降備忘録として、自分の証明や解答を書いていきたい…

図形の合同の定義

図形の合同を以下のように定義する。 --------------------------------------------------------------------------------------------------(定義1:図形の合同) 平面上の2つの図形について、一方をずらしたり、裏返したりすることによって、 他方に重ね合…

内分、外分の定義

内分、外分を図形を用いて定義する。 --------------------------------------------------------------------------------------------------(定義1:内分) 点Oは、線分AA'をm:nの比に内分する点。 -------------------------------------------------------…

Wの問題

こちらのWの問題を考えてみる。 どうやっても8個までしか三角形ができない。 どうやれば、9個の三角形ができるのか?

宮子教授の図形問題

ニコニコ動画にある宮子教授の図形問題が解けない。(一時停止して考え中。) 最初の問題をGeoGebraで作図してみた。 △AD'Mが正三角形なら平行線の性質(錯角)より直線AB'//直線MPが示せるが、 上の図のように、明らかに正三角形となっていない。 しかし見たと…

GeoGebraが面白い

GeoGebraをいろいろいじって遊んでいる。 ここを参考に平面図形を描いてみたが面白いな。

作図ソフト

ニコニコ動画の佐治さんが使っている作図ソフト使い易そう。 何のソフトを使っているんだろう? 作図するフリーソフトでググってみたところ、 GeoGebraというソフトがあるので、ダウンロードし、インストールしてみる。 試しに作図してみた。 円柱と四角錐が…

絶対値・平方根の定義及び命題

絶対値、平方根を以下のように定義する。 -------------------------------------------------------------------------------------------------- (定義1:絶対値) aを実数としたとき、 (i) |a|:=a(a≧0のとき) (ii)|a|:=-a(a<0のとき) で定義される|a|をaの…

分数の掛け算・割り算

過去のtwitterのつぶやきより引用。 -------------------------------------------------------------------------------------------------- (命題1:分数の掛け算) b/a×d/c=(b×d)/(a×c)[証] b/a×d/c=(b×c)/(a×c)×d/c=(b×c×d/c)/(a×c)=(b×c×(1/c×d))/(a×…

乗法の展開・因数分解公式

過去のtwitterのつぶやきより引用。 -------------------------------------------------------------------------------------------------- (命題1:乗法の展開) (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 [証] 分配法則より (a+b)^2=(a+b)(a+b)=(a+b)・a+(a+b)・b=(a^2+ab)+(ab…

写像の命題

過去のtwitterのつぶやきより引用。 写像の定義より、以下の命題が導かれる。 -------------------------------------------------------------------------------------------------- (命題1:写像) 写像f:A→B,g:B→C,h:C→Dにおいて、h・(g・f)=(h・g)・fが…

写像の定義

写像を以下のように定義する。 (集合については、集合の定義及び命題 - MathTriangleの雑記帳を参照。) (集合と同じく写像も数学の土台と言えるものなので、ここでしっかりおさえておきたい。) -----------------------------------------------------------…

階乗・二項係数の定義、命題及び定理

過去のtwitterのつぶやきより引用。 まずは階乗と二項係数を下記の通り定義する。 -------------------------------------------------------------------------------------------------- (定義1:階乗) nを非負整数(0以上の整数)としたとき、n!を次の(1),(2…

整列性及び数学的帰納法

過去のtwitterのつぶやきより引用。 まずは下記の通り定義する。 -------------------------------------------------------------------------------------------------- (定義1:非負整数) Zを整数の集合、 Nを1以上の整数の集合とし、 0以上の整数を非負整…

集合の定義及び命題

集合について、以下のように定義する。 なお集合は数学の土台と言えるもので、これから頻繁に出てくるものなので、 ここでしっかりおさえておきたい。 (といっても特に難しいものではない。単純である事が如何に強力であるかの良い例。) -------------------…

順序に関する記号・用語の定義、実数の基本性質及び命題

過去のtwitterのつぶやきより引用。 -------------------------------------------------------------------------------------------------- 実数に関し、以下の記号・用語を定義する。 (以下a,bで表しているものは、実数を表すものとする。) (定義1:順序) …

幾何の命題、定理

過去のtwitterのつぶやきより引用。 -------------------------------------------------------------------------------------------------- (命題1:幾何)a,b,m,n>0のとき、a:b=m:n⇔b:a=n:mが成り立つ。[証](i)十分性:a:b=m:nとすると、a/b=m/nとなって、…

幾何の公理、定義

過去のtwitterのつぶやきより引用。 -------------------------------------------------------------------------------------------------- (公理1:幾何) 異なる2点を通る直線は、唯一つ存在する。 -----------------------------------------------------…