MathTriangleの雑記帳

主に数学について書いていくブログです。数学の他にパズル、謎解き、音楽にも興味があります。

絶対値の性質(6)

|a|=b⇒a=±b 【証】(i) a≧0のとき: |a|=aであり、仮定より|a|=bなので、a=b (ii) a<0のとき: |a|=-aであり、仮定より|a|=bなので、a=-b よって(i),(ii)より、|a|=b⇒a=±bである。■

絶対値の性質(5)

|a|^2=a^2=|-a|^2 【証】a=0のとき、絶対値の定義より、|a|^2=a^2=|-a|^2となる事は明らか。 (i) a>0のとき: -a<0なので、絶対値の定義より、 |a|^2=a^2={-(-a)}^2=|-a|^2 (ii) a<0のとき: -a>0なので、絶対値の定義より、 |a|^2=(-a)^2=a^2=(-a)^2=|-a|^2…

絶対値の性質(4)

|a/b|=|a|/|b|(b≠0) 【証】絶対値の性質(2)、(3)より、 |a/b|=|a・(1/b)|=|a||1/b|=|a|・(1/|b|)=|a|/|b|■

絶対値の性質(3)

|1/b|=1/|b|(b≠0) 【証】(i) b>0のとき: 1/b>0なので、絶対値の定義より、 |1/b|=1/b=1/|b| (ii) b<0のとき: 1/b<0なので、絶対値の定義より、 |1/b|=-(1/b)=1/(-b)=1/|b| よって(i),(ii)より、|1/b|=1/|b|(b≠0)が成り立つ。■

絶対値の性質(2)

|ab|=|a||b| 【証】a,bのうち少なくとも1つが0であれば、|ab|=|a||b|となる事は明らか。 (i) a>0、b>0のとき: ab>0となるので、絶対値の定義より、 |ab|=ab=|a||b| (ii) a>0、b<0のとき: ab<0となるので、絶対値の定義より、 |ab|=-(ab)=a(-b)=|a||b| (iii…

絶対値の性質(1)

|-a|=|a| 【証】(i) a≧0のとき、-a≦0なので、絶対値の定義より、 |-a|=-(-a)=a=|a| (ii) a<0のとき、-a>0なので、絶対値の定義より、 |-a|=-a=|a| よって(i)、(ii)より、|-a|=|a|が成り立つ。■

非負の和が0ならばそれらは0である

a≧0、b≧0のとき、 a+b=0⇒a=b=0 【証】a≧0、b≧0であり、そのどちらかが正の値であれば、その和も正の値となって仮定に反するので、a、bどちらも0である。■

べき乗の大小関係

a≧0、b≧0のとき、 a>b⇔a^n>b^n(nは任意の自然数) が成り立つ。 【証】数学的帰納法により示す。 (i)n=1のとき: a>b⇔a^1>b^1⇔a^n>b^n となるので成り立つ。 (ii)n=k(≧1)のとき成り立っていると仮定すると、a>b⇔a^k>b^kである。 (→):a>bとすると、a-b>0であり…

n乗根のべき乗の大小関係

bのn乗根を「n√b」と表す時、 (i)b>1ならば、1<n√b<(n√b)^2<(n√b)^3<…<(n√b)^n=b (ii)1>b>0ならば、1>n√b>(n√b)^2>(n√b)^3>…>(n√b)^n=b>0 が成り立つ。 【証】(i)a=n√bとすると、a^n=(n√b)^n=b>1であり、b>1よりa=n√b>0である。 もし、a≦1ならば、a>0より、 1≧a≧a^2≧…≧a^n となって、a^n>1に反するの</n√b<(n√b)^2<(n√b)^3<…<(n√b)^n=b>…

天気

最近、天気が悪い。 傘が邪魔臭いし、ちょっと肌寒い。 風邪をひかないように気をつけなければならない。

確率変数

公理論的確率空間によると、確率変数は、標本空間Ω上で定義された実数値関数X=X(ω)(但し、ω∈Ω)が、P-可測関数であるときをいうらしい。 P-可測関数というのは、Fを可測集合族(Ωが有限集合だったらそのべき集合)とすると、任意の実数αに対して、{ω|X(ω)≦α}∈F…

全く更新してなかった…

標題の通りだ。 数学の事を書かなきゃいけないと思って、 面倒臭くて、更新してこなかった。 数学の勉強は、ずっと続けていたから、 時間があれば、ここにアップしても良いかと思う。 何で再びブログを書こうかと思ったかというと、 Youtubeの「わんこらチャ…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 相似な三角形の面積の比の利用 p.435 (練習130)

(2)は解けなかったので参考書の解説を読んだ。ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 相似な三角形の面積の比の利用 p.435(練習130) [解](1)2点OとP及びAとQをそれぞれ結ぶ。すると∠AQC…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 相似な図形の周の長さと面積の比 p.434 (練習129)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 相似な図形の周の長さと面積の比 p.434(練習129) [解] (1) 仮定より∠COF=108°なので、∠EOB=∠AOBー∠COF=180°ー108°=72° となるから、2つのおうぎ…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 測量と縮図(2) p.433 (練習128)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 測量と縮図(2) p.433(練習128) [解]目の高さの位置をC、点Cを通り直線PBに平行な直線と線分ABとの交点をDとおいて、縮尺1/1000で△ACDの縮図△A’C’D’…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 測量と縮図(1) p.432 (練習127)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 測量と縮図(1) p.432(練習127) [解]縮尺1/500で△ABCの縮図△A’B’C’を描くと、 AC=18m=1800cm BC=16m=1600cm ∠ACB=75° より A’C’=1800×1/500=3…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の重心の定理を利用した証明 p.431 (練習126)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の重心の定理を利用した証明 p.431(練習126) [解] (1) 仮定より四角形ABCDは平行四辺形であり、 平行四辺形の2つの対角線はそれぞれの中点で…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の重心の定理の証明 p.430 (練習125)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の重心の定理の証明 p.430(練習125) [解]半直線AGと辺BCとの交点をFとする。 すると仮定より点Gは△ABCの重心なので、 AG:GF=2:1 となり、仮…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の重心の定理の証明 p.430 (125)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の重心の定理の証明 p.430(125) [証]2点M、Lを結び、2点N、Lを結ぶ。すると3点M、N、Lはそれぞれ△ABCの辺AC、AB、BCの中点なので中点連結定理よ…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 (練習124)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 (練習124) [証] (1)2点NとMを結ぶ。すると仮定より2点N、Mはそれぞれ△CABの2辺AC、BCの中点なので、中点連結定理…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 (124の参考2)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 (124の参考2)124の問題でAC=BDならば四角形PQRSはひし形である。 [証]2点AとC、2点BとDを結ぶ。すると仮定より4点…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 (124の参考1)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 (124の参考1)124の問題でAC⊥BDならば四角形PQRSは長方形である。 [証]2点AとC、2点BとDを結び、線分ACと辺PSとの交…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 (124)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理を利用した証明 p.429 (124) [証]2点AとC、2点BとDを結ぶ。すると仮定より2点S、Rはそれぞれ△DACにおいて辺DA、DCの中点なので、中点連結…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理と線分の長さ p.428 (練習123)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理と線分の長さ p.428 (練習123) [解](1)△AECにおいて、2点D、Fはそれぞれ辺AE、ACの中点なので、中点連結定理よりEG//DF・・・[1]DF=…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理と線分の長さ p.428 (123)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 中学数学/学研教育出版・牧野正博著 中点連結定理と線分の長さ p.428 (123) [解]仮定より2点M、Dはそれぞれ△BEAの辺BA、BEの中点なので中点連結定理よりMD//AE・・・[1]MD=(1/2)AE…

中点連結定理の関連定理

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー (中点連結定理の関連定理)△ABCの辺ABの中点Mを通り、辺BCに平行な直線と辺ACとの交点をNとすると、AN=NCが成り立つ。 [証]仮定よりAM=MBなので、AM:MB=1:1であり、仮定よりMN//BCな…

中点連結定理

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー (中点連結定理)△ABCの2辺AB、ACの中点をそれぞれM、Nとすると、MN//BC、MN=(1/2)BCが成り立つ。 [証] 2点M、Nはそれぞれ辺AB、ACの中点なので、AM:AB=AM:2AM=1:2AN:AC=AN:2AN…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の内角の二等分線の性質の証明 p.427 (練習122)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の内角の二等分線の性質の証明 p.427 (練習122) [解]半直線ADは∠Aの二等分線なので、三角形の内角の二等分線の性質よりBD:DC=AB:CA=9:6=3…

比例式の性質

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーa:b=α:β(a>0、b>0、α>0、β>0)ならば、(ⅰ) a=(α/(α+β))(a+b)(ⅱ) b=(β/(α+β))(a+b)(ⅲ) α=(a/(a+b))(α+β)(ⅳ) β=(b/(a+b))(α+β)が成り立ち…

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 平行線と線分の比の定理と線分の長さ p.425 (練習120)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー中学数学/学研教育出版・牧野正博著 平行線と線分の比の定理と線分の長さ p.425 (練習120) [解] (1) 平行線と線分の比の定理より x:4=5:3 3x=20 x=20/3 また上図のよ…