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（中点連結定理）
△ABCの2辺AB、ACの中点をそれぞれM、Nとすると、
MN//BC、MN＝（1/2）BC
が成り立つ。
［証］
2点M、Nはそれぞれ辺AB、ACの中点なので、
AM：AB＝AM：2AM＝1：2
AN：AC＝AN：2AN＝1：2
となり、AM：AB＝AN：ACとなるので、三角形と線分の比の定理より
MN//BC・・・［1］
MN：BC＝AM：AB＝1：2・・・［2］
となる。よって［2］より
BC＝2MN
MN＝（1/2）BC・・・［2’］
となって、［1］、［2’］より
MN//BC、MN＝（1/2）BC
が成り立つ。■
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形の内角の二等分線の性質の証明 p.427
（練習122）
［解］
半直線ADは∠Aの二等分線なので、三角形の内角の二等分線の性質より
BD：DC＝AB：CA
＝9：6
＝3：2
となり、BD＞0、DC＞0、AB＞0、CA＞0なので、比例式の性質より
BD＝（3/（3＋2））（BD＋DC）
＝（3/5）BC
＝（3/5）・7
＝21/5
となる。よって半直線BIも∠Bの二等分線なので、再び三角形の内角の二等分線の性質より
AI：ID＝AB：BD
＝9：21/5
＝3：7/5
＝15：7
となる。
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a：b＝α：β（a＞0、b＞0、α＞0、β＞0）
ならば、
（ⅰ） a＝（α/（α＋β））（a＋b）
（ⅱ） b＝（β/（α＋β））（a＋b）
（ⅲ） α＝（a/（a＋b））（α＋β）
（ⅳ） β＝（b/（a＋b））（α＋β）
が成り立ち、またその逆も成り立つ。
［証］
a＞0、b＞0、α＞0、β＞0よりa＋b＞0、α＋β＞0となるので、a＋b≠0、α＋β≠0である。
（ⅰ）について：
a：b＝α：β
⇔aβ＝bα
⇔aα＋aβ＝αa＋αb
⇔a（α＋β）＝α（a＋b）
⇔a＝（α/（α＋β））（a＋b）（∵α＋β≠0）
（ⅱ）について：
a：b＝α：β
⇔bα＝βa
⇔bα＋bβ＝βa＋βb
⇔b（α＋β）＝β（a＋b）
⇔b＝（β/（α＋β））（a＋b）（∵α＋β≠0）
（ⅲ）について：
a：b＝α：β
⇔αb＝aβ
⇔αa＋αb＝aα＋aβ
⇔α（a＋b）＝a（α＋β）
⇔α＝（a/（a＋b））（α＋β）（∵a＋b≠0）
（ⅳ）について：
a：b＝α：β
⇔βa＝bα
⇔βa＋βb＝bα＋bβ
⇔β（a＋b）＝b（α＋β）
⇔β＝（b/（a＋b））（α＋β）（∵a＋b≠0）■
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 平行線と線分の比の定理と線分の長さ p.425
（練習120）
［解］
（１）
平行線と線分の比の定理より
ｘ：４＝５：３
３ｘ＝２０
ｘ＝２０/３
また上図のように平行線を引くと斜線をつけた三角形において
三角形と線分の比の定理を用いると
５：（５＋３）＝（３＋ｙ）：（３＋８）
５：８＝（３＋ｙ）：１１
８（３＋ｙ）＝５５
２４＋８ｙ＝５５
８ｙ＝３１
ｙ＝３１/８
となる。
（２）
平行線と線分の比の定理より
AE：EB＝DF：FC
４：８＝DF：（DC－DF）
１：２＝DF：（１４－DF）
２DF＝１４－DF
３DF＝１４
DF＝１４/３（cm）
となる。
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 平行線と線分の比の定理と線分の長さ p.425
（120）
［解］
上図のように交点をとり、点Aを通り直線FDに平行な直線をAHとする。
するとl//m、AG//FEより四角形AGEFは平行四辺形、同様に
m//n、GH//EDより四角形GHDEも平行四辺形であり、
平行四辺形の対辺は等しいので、
BG＝BE－GE
＝BE－AF
＝５－ｙ
CH＝CD－HD
＝CD－GE
＝CD－AF
＝８－ｙ
AG＝FE＝ｘ
GH＝ED＝FD－FE＝５－ｘ
となる。よってｍ//nよりBG//CHであり、
△ACHに三角形と線分の比の定理を用いると
AB：BC＝AG：GH
２：４＝ｘ：（５－ｘ）
１：２＝ｘ：（５－ｘ）
２ｘ＝５－ｘ
３ｘ＝５
ｘ＝５/３（cm）
また
AB：AC＝BG：CH
２：（２＋４）＝（５－ｙ）：（８－ｙ）
２：６＝（５－ｙ）：（８－ｙ）
１：３＝（５－ｙ）：（８－ｙ）
３（５－ｙ）＝８－ｙ
１５－３ｙ＝８－ｙ
２ｙ＝７
ｙ＝７/２（cm）
となる。
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形の内角の二等分線の性質の証明 p.427
（122）
［証］
点Cを通り、線分ADに平行な直線と半直線BAとの交点をEとする。
すると、△BECにおいてAD//ECが成り立つので、
三角形と線分の比の定理より
AB：AE＝BD：DC・・・［1］
が成り立つ。またAD//ECなので、平行線の性質より
∠BAD＝∠AEC（同位角）・・・［2］
∠CAD＝∠ACE（錯角）・・・［3］
となって、仮定より
∠BAD＝∠CAD・・・［4］
なので、［2］〜［4］より
∠AEC＝∠ACE
となり、△ACEの底角が等しく、
△ACEはAE＝ACの二等辺三角形なので［1］より
AB：AC＝BD：DC
が成り立つ。■
［別証1］
点Cを通り、線分ABに平行な直線と半直線ADとの交点をEとする。
すると、AB//CEなので平行線の錯角より
∠BAD＝∠CED
∠ABD＝∠ECD
となり、△ABDと△ECDにおいて
2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より△ABD∽△ECD
であり、相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
AB：EC＝BD：DC・・・［1］
となる。一方AB//CEなので、
平行線の錯角より
∠BAD＝∠CEA
となり、仮定より
∠BAD＝∠CAE
なので、
∠CEA＝∠CAE
となって、△CAEの底角が等しく、
△CAEはAC＝ECの二等辺三角形なので［1］より
AB：AC＝BD：DC
となる。■
［別証2］
2点C、Bから半直線ADに下ろした垂線の足をそれぞれE、Fとする。
すると、
∠BFA＝∠CEA（＝90°）
であり、仮定より
∠BAF＝∠CAE
となって、△ABFと△ACEにおいて
2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より△ABF∽△ACE
であり、相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
AB：AC＝BF：CE・・・［1］
となる。また△BFDと△CEDにおいて
∠BFD＝∠CED（＝90°）
∠BDF＝∠CDE（対頂角）
が成り立ち、2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より△BFD∽△CED
であり、相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
BF：CE＝BD：DC・・・［2］
となる。よって［1］、［2］より
AB：AC＝BD：DC
となる。■
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この問題は考えても解けなかったので、解説を読んで再チャレンジした（くやしい）。
ポイントは何を基準にKH、GBを求めるか、
またその基準はどうやったら求められるかということだと思う。
（この問題の場合は、BIが基準となる）
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 線分の長さの比 p.426
（練習121）
［解］
半直線ADと半直線BGとの交点をIとする。
すると仮定より
FC＝2BF・・・［1］
DG：GC＝1：2・・・［2］
AE＝ED・・・［3］
四角形ABCDは平行四辺形・・・［4］
であり、［4］よりAD//BCとなって、DI//BC、EI//BC、AI//BF
となるので平行線の錯角より
∠GDI＝∠GCB・・・［5］
∠GID＝∠GBC・・・［6］
∠KEI＝∠KCB・・・［7］
∠KIE＝∠KBC・・・［8］
∠HAI＝∠HFB・・・［9］
∠HIA＝∠HBF・・・［10］
となる。よって［5］と［6］、［9］と［10］より
△GDIと△GCB、△HAIと△HFBにおいて
それぞれ2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より
△GDI∽△GCB、△HAI∽△HFB
となり、相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
GI：GB＝DI：BC＝DG：GC・・・［11］
HI：HB＝AI：BF・・・［12］
となる。よって［2］、［11］より
GB＝2GI・・・［13］
BC＝2DI・・・［14］
となって、［13］より
BI＝GB＋GI
＝2GI＋GI
＝3GI・・・［15］
となるので、［13］、［15］より
GB/BI＝（2GI）/（3GI）＝2/3
GB＝（2/3）BI・・・［16］
となる。一方［4］よりAD＝BCとなり、［3］、［14］より
AD＝BC＝2DI
（AE＋ED）＝2DI
2ED＝2DI
ED＝DI
AE＝ED＝DI・・・［17］
AI＝AE＋ED＋DI＝3DI・・・［18］
となって、［1］より
BC＝BF＋FC
＝BF＋2BF
＝3BF・・・［19］
となるので、［14］、［19］より
2DI＝3BF
DI＝（3/2）BF・・・［20］
となるから、［18］、［20］より
AI＝3（（3/2）BF）＝（9/2）BF・・・［21］
となる。よって［12］、［21］より
HI/HB＝AI/BF＝（（9/2）BF）/BF＝9/2
HI＝（9/2）HB
となるので、
HB/BI＝HB/（HB＋HI）
＝HB/（HB＋（9/2）HB）
＝HB/（（1＋（9/2））HB）
＝1/（11/2）
＝2/11
HB＝（2/11）BI・・・［22］
となる。また［14］、［17］より
EI＝ED＋DI＝2DI＝BC・・・［23］
となり、△KEIと△KCBにおいて［7］、［8］、［23］が成り立ち、
一辺とその両端の角が相等しいので、
三角形の合同条件より△KEI≡△KCB
となり、合同な図形の対応する辺の長さは等しいので、
KB＝KIとなるから、
KB/BI＝KB/（KB＋KI）＝KB/（2KB）＝1/2
KB＝（1/2）BI・・・［24］
となる。よって［22］、［24］より
KH＝KBーHB
＝（1/2）BIー（2/11）BI
＝（7/22）BI・・・［25］
となるので、［16］、［25］より
KH/GB＝（（7/22）BI）/（（2/3）BI）
＝（7/22）/（2/3）
＝（7/22）×（3/2）
＝21/44
となる。
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