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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形の内角の二等分線の性質の証明 p.427
（122）
［証］
点Cを通り、線分ADに平行な直線と半直線BAとの交点をEとする。
すると、△BECにおいてAD//ECが成り立つので、
三角形と線分の比の定理より
AB：AE＝BD：DC・・・［1］
が成り立つ。またAD//ECなので、平行線の性質より
∠BAD＝∠AEC（同位角）・・・［2］
∠CAD＝∠ACE（錯角）・・・［3］
となって、仮定より
∠BAD＝∠CAD・・・［4］
なので、［2］〜［4］より
∠AEC＝∠ACE
となり、△ACEの底角が等しく、
△ACEはAE＝ACの二等辺三角形なので［1］より
AB：AC＝BD：DC
が成り立つ。■
［別証1］
点Cを通り、線分ABに平行な直線と半直線ADとの交点をEとする。
すると、AB//CEなので平行線の錯角より
∠BAD＝∠CED
∠ABD＝∠ECD
となり、△ABDと△ECDにおいて
2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より△ABD∽△ECD
であり、相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
AB：EC＝BD：DC・・・［1］
となる。一方AB//CEなので、
平行線の錯角より
∠BAD＝∠CEA
となり、仮定より
∠BAD＝∠CAE
なので、
∠CEA＝∠CAE
となって、△CAEの底角が等しく、
△CAEはAC＝ECの二等辺三角形なので［1］より
AB：AC＝BD：DC
となる。■
［別証2］
2点C、Bから半直線ADに下ろした垂線の足をそれぞれE、Fとする。
すると、
∠BFA＝∠CEA（＝90°）
であり、仮定より
∠BAF＝∠CAE
となって、△ABFと△ACEにおいて
2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より△ABF∽△ACE
であり、相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
AB：AC＝BF：CE・・・［1］
となる。また△BFDと△CEDにおいて
∠BFD＝∠CED（＝90°）
∠BDF＝∠CDE（対頂角）
が成り立ち、2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より△BFD∽△CED
であり、相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
BF：CE＝BD：DC・・・［2］
となる。よって［1］、［2］より
AB：AC＝BD：DC
となる。■
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