MathTriangleの雑記帳

主に数学について書いていくブログです。数学の他にパズル、謎解き、音楽にも興味があります。

中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の内角の二等分線の性質の証明 p.427 (122)

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形の内角の二等分線の性質の証明 p.427

(122)
f:id:MathTriangle:20170527100349j:image

[証]
点Cを通り、線分ADに平行な直線と半直線BAとの交点をEとする。
すると、△BECにおいてAD//ECが成り立つので、
三角形と線分の比の定理より
AB:AE=BD:DC・・・[1]
が成り立つ。またAD//ECなので、平行線の性質より
∠BAD=∠AEC(同位角)・・・[2]
∠CAD=∠ACE(錯角)・・・[3]
となって、仮定より
∠BAD=∠CAD・・・[4]
なので、[2]〜[4]より
∠AEC=∠ACE
となり、△ACEの底角が等しく、
△ACEはAE=ACの二等辺三角形なので[1]より
AB:AC=BD:DC
が成り立つ。■

[別証1]
点Cを通り、線分ABに平行な直線と半直線ADとの交点をEとする。
すると、AB//CEなので平行線の錯角より
∠BAD=∠CED
∠ABD=∠ECD
となり、△ABDと△ECDにおいて
2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より△ABD∽△ECD
であり、相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
AB:EC=BD:DC・・・[1]
となる。一方AB//CEなので、
平行線の錯角より
∠BAD=∠CEA
となり、仮定より
∠BAD=∠CAE
なので、
CEA=∠CAE
となって、△CAEの底角が等しく、
△CAEはAC=ECの二等辺三角形なので[1]より
AB:AC=BD:DC
となる。■

[別証2]
2点C、Bから半直線ADに下ろした垂線の足をそれぞれE、Fとする。
すると、
∠BFA=∠CEA(=90°)
であり、仮定より
∠BAF=∠CAE
となって、△ABFと△ACEにおいて
2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より△ABF∽△ACE
であり、相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
AB:AC=BF:CE・・・[1]
となる。また△BFDと△CEDにおいて
∠BFD=∠CED(=90°)
∠BDF=∠CDE(対頂角)
が成り立ち、2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より△BFD∽△CED
であり、相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
BF:CE=BD:DC・・・[2]
となる。よって[1]、[2]より
AB:AC=BD:DC
となる。■
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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 線分の長さの比 p.426 (練習121)

この問題は考えても解けなかったので、解説を読んで再チャレンジした(くやしい)。
ポイントは何を基準にKH、GBを求めるか、
またその基準はどうやったら求められるかということだと思う。
(この問題の場合は、BIが基準となる)
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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 線分の長さの比 p.426

(練習121)
f:id:MathTriangle:20170527100621j:image

[解]
半直線ADと半直線BGとの交点をIとする。
すると仮定より
FC=2BF・・・[1]
DG:GC=1:2・・・[2]
AE=ED・・・[3]
四角形ABCDは平行四辺形・・・[4]
であり、[4]よりAD//BCとなって、DI//BC、EI//BC、AI//BF
となるので平行線の錯角より
∠GDI=∠GCB・・・[5]
GID=∠GBC・・・[6]
∠KEI=∠KCB・・・[7]
∠KIE=∠KBC・・・[8]
∠HAI=∠HFB・・・[9]
HIA=∠HBF・・・[10]
となる。よって[5]と[6]、[9]と[10]より
△GDIと△GCB、△HAIと△HFBにおいて
それぞれ2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より
△GDI∽△GCB、△HAI∽△HFB
となり、相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
GI:GB=DI:BC=DG:GC・・・[11]
HI:HB=AI:BF・・・[12]
となる。よって[2]、[11]より
GB=2GI・・・[13]
BC=2DI・・・[14]
となって、[13]より
BI=GB+GI
=2GI+GI
=3GI・・・[15]
となるので、[13]、[15]より
GB/BI=(2GI)/(3GI)=2/3
GB=(2/3)BI・・・[16]
となる。一方[4]よりAD=BCとなり、[3]、[14]より
AD=BC=2DI
(AE+ED)=2DI
2ED=2DI
ED=DI
AE=ED=DI・・・[17]
AI=AE+ED+DI=3DI・・・[18]
となって、[1]より
BC=BF+FC
=BF+2BF
=3BF・・・[19]
となるので、[14]、[19]より
2DI=3BF
DI=(3/2)BF・・・[20]
となるから、[18]、[20]より
AI=3((3/2)BF)=(9/2)BF・・・[21]
となる。よって[12]、[21]より
HI/HB=AI/BF=((9/2)BF)/BF=9/2
HI=(9/2)HB
となるので、
HB/BI=HB/(HB+HI)
=HB/(HB+(9/2)HB)
=HB/((1+(9/2))HB)
=1/(11/2)
=2/11
HB=(2/11)BI・・・[22]
となる。また[14]、[17]より
EI=ED+DI=2DI=BC・・・[23]
となり、△KEIと△KCBにおいて[7]、[8]、[23]が成り立ち、
一辺とその両端の角が相等しいので、
三角形の合同条件より△KEI≡△KCB
となり、合同な図形の対応する辺の長さは等しいので、
KB=KIとなるから、
KB/BI=KB/(KB+KI)=KB/(2KB)=1/2
KB=(1/2)BI・・・[24]
となる。よって[22]、[24]より
KH=KBーHB
=(1/2)BIー(2/11)BI
=(7/22)BI・・・[25]
となるので、[16]、[25]より
KH/GB=((7/22)BI)/((2/3)BI)
=(7/22)/(2/3)
=(7/22)×(3/2)
=21/44
となる。
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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 線分の長さの比 p.426 (121)

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 線分の長さの比 p.426

(121)
f:id:MathTriangle:20170527100808j:image

[解]
点Aを通り、線分EFに平行な直線と半直線CBとの交点をGとおく。
するとPE//AGなので、三角形の線分の比の定理より
AP:PC=GE:EC
=(GB+BE):EC
となり、仮定よりBE=3ECなので、
AP:PC=(GB+3EC):EC・・・[1]
となる。一方仮定より四角形ABCDは長方形なので、
∠ABG=∠FCE(=90°)・・・[2]
AB=DC・・・[3]
となり、AG//FEなので、平行線の性質より
∠AGB=∠FEC(同位角)・・・[4]
となる。よって△AGBと△FECにおいて、[2]、[4]が成り立ち、
2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より△AGB∽△FECであり、
相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
EC:GB=FC:AB・・・[5]
となる。よって仮定よりDF=FCなので、[3]より
AB=DC=2FC
となり、[5]より
EC:GB=FC:2FC=1:2
GB=2EC
となるから[1]より
AP:PC=(2EC+3EC):EC
=5EC:EC
=5:1
となる。
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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理と線分の長さ p.424 (練習119)

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理と線分の長さ p.424

(練習119)
f:id:MathTriangle:20170527101014j:image

[解]
(1)
DE//BCなので、
AD:AB=DE:BC
4:(4+x)=8:12=2:3
2(4+x)=4・3
4+x=2・3
x=6ー4
=2(cm)
また、
AD:DB=AE:EC
4:2=y:3
2:1=y:3
y=6(cm)

(2)
DE//BCなので、
AD:AB=AE:AC
12:18=AE:AC
AE:AC=2:3・・・[1]
またFE//DCより
AF:AD=AE:AC
AF:12=AE:AC・・・[2]
よって[1]、[2]より
AF:12=2:3
3・AF=12・2
AF=4・2
=8(cm)
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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理と線分の長さ p.424 (119)

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中学数学/学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理と線分の長さ p.424

(119)
f:id:MathTriangle:20170527101137j:image

[解]
(1)
DE//BCなので、
AD:AB=DE:BC
6:(6+3)=x:12
6:9=x:12
9x=6・12
x=8(cm)

(2)
DE//BCなので、
AD:AB=AE:AC
6:16=9:(9+x)
6(9+x)=16・9
9+x=8・3
x=24ー9
=15(cm)
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定理4の補足

(補足)
定理4よりAD:AB=AE:ACならばDE//BCであり、
定理3+よりDE//BCならばAD:AB=AE:AC=DE:BCなので、
AD:AB=AE:ACならばAD:AB=AE:AC=DE:BCが成り立つ。

新体系・中学数学の教科書(下)(芳沢先生の教科書) p.92 (定理4)

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新体系・中学数学の教科書(下)(芳沢先生の教科書) p.92

(定理4)
f:id:MathTriangle:20170527101312j:image

[証]
仮定よりAD:AB=AE:ACなので、定理5より
AD:DB=AE:EC・・・[1]
となるので、点Dを通って線分BCと平行な直線を引くと、この直線は3点A、B、Cのいずれも通らず、線分ABと交わり、線分BCと交わらないので、幾何のおもしろさの公理2より線分ACと交わる。よってこの交点をFとおくと、DF//BCなので、定理3より
AD:AB=AF:ACとなり、再び定理5より
AD:DB=AF:FC・・・[2]
となるので、[1]、[2]より
AE:EC=AF:FC
となる。よって2点E、Fはともに線分AC上の点なので、E=Fとなり、
DF//BCよりDE//BCとなる。■
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