芳沢先生の教科書 p.92の定理4の証明の為に、幾何のおもしろさに記載されている公理2を定める。
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幾何のおもしろさ p.5
（公理2）
直線lが3点A、B、Cのいずれも通らないとき、lは3つの線分AB、AC、BC
のいずれとも交わらないか、またはそのうち2つと交わって他の1つと交わらない。
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新体系・中学数学の教科書（下）（芳沢先生の教科書） p.91 （定理3＋）
下記は定理3を拡張したもので、DE//BCのとき、
AD：AB＝AE：AC
だけではなく、
AD：AB＝AE：AC＝DE：BC
も言えることを示したものである。
（但し証明に定理3、5を使っているので、事前にこれらを証明しておかなければならない。）
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新体系・中学数学の教科書（下）（芳沢先生の教科書） p.91
（定理3＋）
［証］
仮定よりDE//BCなので、定理3より
AD：AB＝AE：AC・・・［1］
となるので、点Eを通って辺ABに平行な直線と辺BCとの交点をFとおくと、
EF//ABとなるので、再び定理3よりEC：AC＝FC：BCとなる。
よって定理5よりAC：AE＝BC：BFとなり、DE//BC、EF//ABより
四角形DBFEは平行四辺形であり、対辺が等しいので、DE＝BFとなるから、
AC：AE＝BC：DEとなる。よって
AC/AE＝BC/DE（∵AE≠0、DE≠0）
AE/AC＝DE/BC（∵AC≠0、BC≠0）
AE：AC＝DE：BC
となるので、［1］より
AD：AB＝AE：AC＝DE：BC
となる。■
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新体系・中学数学の教科書（下）（芳沢先生の教科書） p.93 （定理5）
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新体系・中学数学の教科書（下）（芳沢先生の教科書） p.93
（定理5）
［証］
（ⅰ）⇔（ⅱ）について：
AD：DB＝AE：EC
⇔AD/DB＝AE/EC（∵DB≠0、EC≠0）
⇔AD・EC＝DB・AE
⇔AD・AE＋AD・EC＝AD・AE＋DB・AE
⇔AD（AE＋EC）＝（AD＋DB）AE
⇔AD・AC＝AB・AE
⇔AD/AB＝AE/AC（∵AB≠0、AC≠0）
⇔AD：AB＝AE：AC
（ⅰ）⇔（ⅲ）について：
AD：DB＝AE：EC
⇔AD/DB＝AE/EC（∵DB≠0、EC≠0）
⇔AD・EC＝DB・AE
⇔AD・EC＋DB・EC＝DB・AE＋DB・EC
⇔（AD＋DB）EC＝DB（AE＋EC）
⇔AB・EC＝DB・AC
⇔AB/DB＝AC/EC（∵DB≠0、EC≠0）
⇔AB：DB＝AC：EC
（ⅱ）⇔（ⅲ）について：
（ⅰ）⇔（ⅱ）より
AD：AB＝AE：AC⇔AD：DB＝AE：EC・・・［1］
（ⅰ）⇔（ⅲ）より
AD：DB＝AE：EC⇔AB：DB＝AC：EC・・・［2］
よって［1］、［2］より
AD：AB＝AE：AC⇔AB：DB＝AC：EC
が成り立つ。■
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理の証明 p.423 （練習118）
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 三角形と線分の比の定理の証明 p.423
（練習118）
［証］
仮定よりDE//BCなので、上記118より
AD：AB＝AE：AC
となり、比例式の外項の積と内項の積は等しいので、
AD・AC＝AB・AE
AD・（AE＋EC）＝（AD＋DB）・AE
AD・AE＋AD・EC＝AD・AE＋DB・AE
AD・EC＝DB・AE
AD：DB＝AE：EC
となる。■
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新体系・中学数学の教科書（下）（芳沢先生の教科書） p.91 （定理3）
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新体系・中学数学の教科書（下）（芳沢先生の教科書） p.91
（定理3）
［証］
辺AD、ABを底辺とした△ADE、△ABEの高さをh1とおくと
AD/AB＝（（1/2）・AD・h1）/（（1/2）・AB・h1）
＝△ADEの面積/△ABEの面積
となるので、
AD：AB＝△ADEの面積：△ABEの面積・・・［1］
となる。よって仮定より線分DE、BCは平行なので、
△DEBの面積＝△DECの面積
となり、
△ABEの面積＝△ADEの面積＋△DEBの面積
＝△ADEの面積＋△DECの面積
＝△ADCの面積・・・［2］
となる。一方辺AE、ACを底辺とした△ADE、△ADCの高さをh2とおくと
AE/AC＝（（1/2）・AE・h2）/（（1/2）・AC・h2）
＝△ADEの面積/△ADCの面積
となるので、
AE：AC＝△ADEの面積：△ADCの面積・・・［3］
となる。よって［1］〜［3］より
AD：AB＝AE：AC
となる。■
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 方べきの定理（1） p.421 （116）
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中学数学／学研教育出版・牧野正博著 方べきの定理（1） p.421
（116）
［証］
（1）
∠APC＝∠DPB（対頂角）・・・［1］
∠CAP＝∠BDP（弧CBに対する円周角）・・・［2］
△APCと△DPBにおいて［1］、［2］が成り立ち、2組の角が相等しいので、
三角形の相似条件より△APC∽△DPBである。
よって相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
PA：PD＝PC：PB
となり、比例式の外項の積と内項の積は等しいので、
PA×PB＝PC×PD
となる。■
（2）
AとCを結び、BとDを結ぶ。すると、
∠APC＝∠DPB（共通）・・・［1］
であり、四角形ACDBは内接四角形で∠ACPはその外角なので、内接四角形の性質より
∠ACP＝∠DBP・・・［2］
となる。よって△APCと△DPBにおいて［1］、［2］が成り立ち、
2組の角が相等しいので、三角形の相似条件より△APC∽△DPBである。
よって相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので、
PA：PD＝PC：PB
となり、比例式の外項の積と内項の積は等しいので、
PA×PB＝PC×PD
となる。■
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